AtCoder Regular Contest 100 C

C - Linear Approximation
题目大意:长度为n的序列,找任意一个整数b,使abs(a[i]-(i+b))的和最小。
先将a[i]减去i,那么就是求a[i]-b的绝对值和最小.
转换模型我们可以把a[i]看成数轴上的点,那么就是要求数轴上一个点到其他点的距离最小。
曾经在蓝书上看过这个结论,b这个点就是中位数。
证明一波:

 

image.png

假设找的点是蓝色点,向左移动d个单位,则左边点到它的距离-d,右边+d,那么-4d+2d=-2d减少了2d.
可见只要蓝点左右两边点数不同就不是最优解,那么使左右两边点数相同的就是这些点坐标的中位数了。
以上证明摘自蓝书p6.
那么b为中位数,我们就可以求出答案了。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <cmath>
 6 #include <queue>
 7 #define ll long long
 8 #define out(a) printf("%lld ",a)
 9 using namespace std;
10 int n;
11 int num;
12 ll ans;
13 int a[200050];
14 int read() 
15 {
16     int s=0,t=1; char c;
17     while (c<'0'||c>'9'){if (c=='-') t=-1; c=getchar();}
18     while (c>='0'&&c<='9'){s=s*10+c-'0'; c=getchar();}
19     return s*t;
20 }
21 int main()
22 {
23     n=read();
24     for (int i=1;i<=n;i++)
25       a[i]=read(),a[i]-=i;
26     sort(a+1,a+n+1);
27     if (n&1) num=a[n/2+1];
28     else num=a[n/2];
29     for (int i=1;i<=n;i++)
30       ans+=abs(a[i]-num);
31     out(ans);
32     return 0;
33 }

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