多天线系统的BER性能
在前面的章节中，我们推到了具有多个接收天线的系统采用最大比例合并方案时所能达到的最大接收信噪比，
$$\operatorname{SNR}_m=\frac{P\left\|\mathbf{h}\right\|^2}{\sigma^2}$$
假设
$$\begin{aligned} g&=\left\|\mathbf{h}\right\|^2 \\ &=|h_1|^2+|h_1|^2+\cdots+|h_{L}|^2 \end{aligned}$$
其中\(h_1,h_2,\cdots,h_L\)是独立同分布（iid）的具有单位功率的服从Rayleigh分布随机变量，即\(E\{|h_l|^2\}=1\)。从这里也可以看出，采用最大比例合并所能够获得的最大信噪比等于各个链路上的信噪比之和。
根据概率论知识可知，\(g\)服从自由度为\(2L\)的\(\chi^2\)分布，其概率密度函数为
$$f_{G}(g)=\frac{1}{(L-1)!}g^{L-1}e^{-g}$$
因此
$$\operatorname{SNR}_m=g\frac{P}{\sigma^2}$$
结合BPSK系统，采用最大比合并后的BER可以表示为
$$\operatorname{BER}=Q(\sqrt{\operatorname{SNR}_m}=Q(\sqrt{g\operatorname{SNR}})$$
其中\(\operatorname{SNR}\)是AWGN条件下的信噪比。由于\(g\)是随机变量，BER也是随机变量，因此讨论平均BER是有意义的。
结合\(g\)的概率密度函数，平均BER为
$$\begin{aligned}\overline{\operatorname{BER}}&=\int_{0}^{\infty}Q(\sqrt{g\operatorname{SNR}})f_G(g)dg \\ &=\left(\frac{1-\lambda}{2}\right)^L \sum_{l=0}^{L-1}C_{L+l-1}^l\left(\frac{1+\lambda}{2} \right )^l \end{aligned}$$
其中\(\lambda=\sqrt{\frac{\operatorname{SNR}}{2+\operatorname{SNR}}}\)，\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)。
下面对上面BER表达式进行近似化简。在高信噪比条件下，可以做如下近似
$$\begin{aligned} \frac{1-\lambda}{2}&=\frac{1}{2}(1-\lambda)=\frac{1}{2}\left( 1-\sqrt{\frac{\operatorname{SNR}}{2+\operatorname{SNR}}} \right) \\ &=\frac{1}{2}\left( 1-\sqrt{\frac{1}{2/\operatorname{SNR}+1}} \right ) \\ &\approx \frac{1}{2}\left(1-(1-\frac{1}{2}\frac{2}{\operatorname{SNR}}) \right )=\frac{1}{2\operatorname{SNR}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \frac{1+\lambda}{2}&=\frac{1}{2}(1+\lambda)=\frac{1}{2}\left( 1+\sqrt{\frac{\operatorname{SNR}}{2+\operatorname{SNR}}} \right) \\ &=\frac{1}{2}\left( 1+\sqrt{\frac{1}{2/\operatorname{SNR}+1}} \right ) \\
&\approx \frac{1}{2}\left(1+(1-\frac{1}{2}\frac{2}{\operatorname{SNR}}) \right )=1-\frac{1}{2\operatorname{SNR}} \approx 1 \end{aligned} $$
由此，在高信噪比条件下，BER可以近似表示为
$$\overline{\operatorname{BER}}\approx C_{2L-1}^{L}\left( \frac{1}{2\operatorname{SNR}} \right)^L $$
多天线接收的效果
对于BPSK系统来说，给定最大的BER性能，如\(10^{-6}\)，比较AWGN、单天线和两天线时的最小SNR要求。
AWGN条件下
$$P_e=Q\left( \sqrt{\operatorname{SNR}} \right)=10^{-6}$$
代入求解得到最低的SNR要求为29.3dB。
单天线时（\(L=1\)）
$$P_e\approx \frac{C_1^1}{2\operatorname{SNR}}=10^{-6}$$
求解得到最低的SNR要求为56.98dB，
两天线时（\(L=2\)）
$$P_e\approx \frac{C_5^3}{2^2\operatorname{SNR}}^2=10^{-6}$$
求解得到最低的SNR要求为14.19dB。
从上面三种情况的对比可知，为了达到同样的误码率性能（\(10^{-6}\)），衰落信道条件下比AWGN条件下要求更高的接收信噪比，也就要求更高的发射功率（单天线比AWGN要求超过43dB的更多功率）。而当使用多个接收天线并采用最大比合并时，所要求的最低信噪比大大降低（两天线比单天线要求的SNR降低了近28dB），说明使用多天线可以有效提升误码率性能。
多天线下的深衰落分析
为什么采用多个天线可以降低接收信噪比要求？我们从深衰落事件的发生概率来分析。
采用最大比合并得到的接收信噪比可以表示为
$$\operatorname{SNR}_mrc=\frac{\left\| \mathbf{h} \right\|^2P}{\sigma^2}=g\frac{P}{\sigma^2}$$
其中\(g=\left\| \mathbf{h} \right\|^2\)，它是服从自由度为\(2L\)的\(\chi^2\)分布随机变量。按照之前的定义，“深衰落”定义为接收信号功率低于噪声功率的事件，即
$$P_{DF}=\operatorname{Pr}(gP<\sigma^2)=\operatorname{Pr}(g<\frac{P}{\sigma^2})=\operatorname{Pr}(g<\frac{1}{\operatorname{SNR}})$$
代入g的概率密度函数得到
$$P_{DF}=\int_{0}^{1/\sqrt{\operatorname{SNR}}}\frac{g^{L-1}}{(L-1)!}e^{-g}dg$$
上式积分中，g的取值范围是\([0,1/\operatorname{SNR}]\)，在高信噪比条件下g的取值接近于0，而\(e^{-g}\approx 1\)。因此
$$\begin{aligned} P_{DF}&\approx \int_{0}^{1/\sqrt{\operatorname{SNR}}}\frac{g^{L-1}}{(L-1)!}dg=\frac{g^L}{L!}|_{0}^{1/\operatorname{SNR}} \\ &=\frac{(\operatorname{SNR}^{-L})}{L!}\propto \operatorname{SNR}^{-L} \end{aligned} $$
由上式可知，在高信噪比条件下，具有L个接收天线的系统发生深衰落的概率与信噪比的L次方成反比。这也说明了，系统的BER特性将随信噪比的L次方下降，而下降的速度与L成正比。
假设\(E_i\)表示第\(i\)个接收天线的信道发生深衰落事件，则L天线系统发生深衰落的概率等于所有L条路径上都发生深衰落的概率，即
$$P_{DF}=\operatorname{Pr}(E_0\cap E_1\cap ... \cap E_{L-1})$$
根据前面的知识，单链路上发生深衰落的概率约为\(1/\operatorname{SNR}\)，而且我们假设L条路径是独立的，则有
$$P_{DF}=\operatorname{Pr}(E_0)\operatorname{Pr}(E_1)...\operatorname{Pr}(E_{L-1})=\frac{1}{\operatorname{SNR}^L}$$
上述系统的接收端采用在空间上分布的多个天线，所以这种分集方案也称之为“空间分集”。注意，得到上述分集效果的一个关键的前提条件是各个天线之间的信道所经历的衰落是“独立”的。而保证多个均匀分布的天线之间独立衰落的条件则是天线阵元间距大于波长的一半，即
$$d_{min}=\frac{\lambda}{2}$$
其中，\(\lambda\)是载波的波长。
分集阶数
为了衡量系统分集效应的利用程度，定义分集阶数的概念。分集阶数（Diversity Order）定义为
$$d=-\lim_{\operatorname{SNR} \to \infty}\frac{\log{P_e(\operatorname{SNR})}}{\log{\operatorname{SNR}}}$$
其中\(P_e(\operatorname{SNR} )\)是系统误码率函数。
对L天线系统来说，当L=1时，\(P_e(\operatorname{SNR})\approx \frac{1}{2\operatorname{SNR}}\)，其分集阶数为
$$\begin{aligned} d&=-\lim_{\operatorname{SNR} \to \infty}\frac{\log{\frac{1}{2\operatorname{SNR}}}}{\log{\operatorname{SNR}}} \\ &=\lim_{\operatorname{SNR} \to \infty}\left( 1+\frac{\log2}{\log\operatorname{SNR}} \right) \\ &=1 \end{aligned} $$
对于任意天线个数L的情况，分集阶数为
$$\begin{aligned} d&=-\lim_{\operatorname{SNR} \to \infty}\frac{\log{C_{2L-1}^L}(\frac{1}{2})^L(\frac{1}{\operatorname{SNR}})^L}{\log\operatorname{SNR}} \\ &=L-\lim_{\operatorname{SNR} \to \infty}\frac{\log{C_{2L-1}^L2^{-L}}}{\log\operatorname{SNR}} \\ &=L\end{aligned}$$
下面我们考虑AWGN条件下的分集阶数。AWGN下的BER函数为
$$P_e(\operatorname{SNR})=Q\left(\sqrt{\operatorname{SNR}}\right) \approx \frac{1}{2}e^{-\operatorname{SNR}/2} $$
代入分集阶数公式，得到
$$\begin{aligned} d&=-\lim_{\operatorname{SNR} \to \infty}\frac{\log{\frac{1}{2}e^{-\operatorname{SNR}/2} }}{\log\operatorname{SNR}} \\ &=\lim_{\operatorname{SNR} \to \infty}\left( \frac{\log{2}}{\log{\operatorname{SNR}}} + \frac{\operatorname{SNR}}{2\log{\operatorname{SNR}}} \right) \\ &=\lim_{\operatorname{SNR} \to \infty}\left( \frac{1}{2}\frac{1}{\frac{1}{\operatorname{SNR}}} \right) \\ &=\lim_{\operatorname{SNR} \to \infty}\frac{\operatorname{SNR}}{2}=\infty \end{aligned}$$
可以看到，AWGN条件下的分集阶数是无穷大，它等效于在收发机之间有无穷多个独立的无线链路。
信道的时延扩展
多径信道是有多个具有不同时延叠加而成的，表示为
$$h(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_i\delta(t-\tau_i)$$
其中\(a_i\)和\(\tau_i\)是第\(i\)径的幅度和时延。考虑信道的功率谱
$$\Phi(t)=\sum_{i=0}^{L-1}|a_i|^2\delta(t-\tau_i)$$
假设\(g_i=|a_i|^2\)是第\(i\)径的功率，由此可以得到功率谱分布。
（图待补充）
有了信道的功率谱后，多径在时间上分布的范围称之为“时延扩展”。刻画多径信道的时延扩展可以使用多个指标。如最大时延扩展、RMS时延扩展等。
最大时延扩展
最大时延扩展定义为多径信道中第一个到达的路径与最后一个到达的路径之间的时延差
$$\sigma_{\tau}^{max}=\tau_{L-1}-\tau_0$$
RMS时延扩展
最大时延扩展这个指标在某些情况下无法很好的刻画多径信道，特别是功率谱呈现“长尾”分布的情况。这种情况下，存在大量的时延较大的但功率很小的路径。我们需要考虑到多径分量的刻画指标，比如RMS时延扩展。
首先来看平均时延指标。定义平均时延为各径的时延按功率平均，如
$$b_i=\frac{g_i}{\sum_{j=0}^{L-1}g_j}$$
这里的\(b_i\)是第\(i\)径在多径信道中所占的比重。由此，平均时延为
$$\begin{aligned} \bar{\tau}&=b_0\tau_0+b_1\tau_1+\cdots+b_{L-1}\tau_{L-1} \\ &=\sum_{i=0}^{L-1}b_i\tau_i \\ &=\frac{\sum_{i=0}^{L-1}g_i\tau_i}{\sum_{i=0}^{L-1}g_i} \end{aligned}$$
定义
$$\begin{aligned} \sigma_{\tau}^2&=b_0(\tau_0-\bar{\tau})^2+b_1(\tau_1-\bar{\tau})^2+\cdots+b_{L-1}(\tau_{L-1}-\bar{\tau})^2 \end{aligned}$$
可以得到RMS时延扩展为
$$\begin{aligned} \sigma_{\tau}&=\left(\frac{\sum_{i=0}^{L-1}g_i(\tau_i-\bar{\tau})^2}{\sum_{i=0}^{L-1}g_i}\right)^{1/2}\\&=\left(\frac{\sum_{i=0}^{L-1}|a_i|^2(\tau_i-\bar{\tau})^2}{\sum_{i=0}^{L-1}|a_i|^2}\right)^{1/2}\end{aligned}$$