每日一题之 hiho1769 最长子段

描述
给定一个数组a[1..n]，你需要选一个尽可能长的非空连续子段，使得这个子段的和小于等于给定的一个数 S.

输入
第一行两个整数 n，S

第二行 n 个整数，第 i 个整数表示 a[i]

对于 30% 的数据，有1 ≤ n ≤ 103

对于 100% 的数据，有1 ≤ n ≤ 2×105，-109 ≤ a[i] ≤ 109

输出
输出满足题目条件的最长的连续子段的长度，如果不存在这样的连续子段，输出 -1。

样例输入
3 -1
4 -3 2
样例输出
2

思路：

连续的子段和可以利用前缀和算出来，最暴力的接发就是枚举每个子段的和看是否小于等于S，这样的时间复杂度是$O(n^2)$,肯定过不了，肯定有个优化，考虑$O(nlogn)$的解法，直觉上可以用二分可以将时间复杂度优化到$O(nlogn)$, 由于二分的前提条件是序列要有序的，怎么去构造这个有序的序列B呢？我们令$B[i]$ 表示前i个数中所有前缀和加上S的最大值。即 $B[i] = max(sum[i]+S,B[i-1])$ 这样保证了B数组是有序的。然后在B数组中找第一个大于sum[i]的值的下标。比如要求子段[i,j]和，那么就是 $sum[j] - sum[i-1] \leq S$ 即 $sum[j] + S \geq sum[i]$ 这不等式的左边就是B数组中存的数。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 1e5+5;

long long A[maxn*2];
long long B[maxn*2];
long long sum[maxn*2];

int main()
{

    int n;
    long long s;
    cin >> n >> s;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> A[i];
        sum[i] = sum[i-1] + A[i];

    }
    B[0] = s;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        B[i] = max(sum[i]+s,B[i-1]);

    int res = -1;
    for (int i = n; i >= 1; --i) {
        int pos = lower_bound(B,B+i-1,sum[i]) - B;

        if (pos < i) res = max(res, i - pos);
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}