LeetCode-279. Perfect Squares

Description

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.

Example 1

Input: n = 12
Output: 3 
Explanation: 12 = 4 + 4 + 4.

Example 2

Input: n = 13
Output: 2
Explanation: 13 = 4 + 9.

Solution 1(C++)

static int x =[](){std::ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL); return 0;}();

class Solution{
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n+1, n+1);
        dp[0] = 0;
        for(int i=1; i <= n; i++){
            for(int j=1, j2; (j2=j*j) <= i; j++){
                dp[j] = min(dp[j], dp[j-i2]+1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

Solution 2(C++)

static int x =[](){std::ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL); return 0;}();

class Solution{
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n+1, INT_MAX);
        for(int i=0; i <= n; i++){
            if(i == 0) dp[i] = 0;
            else if(isSquare(i)) dp[i] = 1;
            else{
                for(int j=1; j*j<i; j++){
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i-j*j]+1);    
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }

private:
    bool isSquare(int n){
        int temp = (int)sqrt(n);
        return n == temp*temp;  
    }
};

Solution 3(C++)

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        while (n % 4 == 0) n /= 4;
        if (n % 8 == 7) return 4;
        for (int a = 0; a * a <= n; ++a) {
            int b = sqrt(n-pow(a, 2));
            if (a*a + b*b == n) {
                return !!a + !!b;
            }
        }
        return 3;
    }
};

算法分析

解法二：

首先说一说解法二，解法二的思路比较简单，形式看上去更加直观。按照一般的思路，构建一个0~n的数组，数组长度为n+1，初始值设为n+1（这样大于n，因为最坏的情况，n也就由n个1构成，1是平方数），当然这个初始值可以设为一个较大数（因为后面要进行取小的运算）。那么，对于数组中的i，有如下可能：

如果 i=0，则 dp[0] = 0，
如果i是平方数：1、4、9…，则对应的dp[1]、dp[4]、dp[9]都为1
除此之外的i，可以不难分析出状态转移方程：dp[i] = min(dp[i], dp[ i - j * j]+1)，其中j是满足：j*j < i，的平方数的平方根。

整理即可得到解法二的代码。

解法一：

基于解法二的思路，尤其是状态转移方程：dp[i] = min(dp[i], dp[ i - j * j]+1)，我们可以将这道题换一个说法来描述：

给定一个数n，要在若干个数：i1*i1, i2*i2, i3*i3···中找到一种组合，使得组合的和等于给定的数n。

之所以要是用这样一种表述，是因为类似的：“求若干数的组合，使得组合的和等于给定数”的这样一种问题，我在后面还遇到过多次，甚至很多问题都能转换为这种问题。所以，在这里需要对这种问题有一个注意。

后面我会综合遇到的几种题，放在一起，对比一下，如果高效的解决这种问题。

继续上面的话题，对于这种表述，需要注意本题中特殊的一点就是，“若干数的组合”中的“若干数”是有限制条件的：全都是平方数。此外，对于“组合”的要求没有限制，一个数可以不出现、也可以重复出现多次。这一点在后面的题目中会有变形。

解决这种问题，状态转移方程一般都很容易得到：dp[i] = min(dp[i], dp[ i - j * j]+1)。但是要注意的是，这里有两重循环：

对“若干数”的遍历
对动态规划数组的遍历

那么两重循环的里外顺序不同会导致答案的正确与否。此外，还要注意遍历的顺序，比如解法一中的遍历顺序都是从小到大，但是后面的类似的题目顺序有的是从大到小。这需要注意。

解法一采用的算法思路是：

对动态规划数组进行遍历，选取其中一个数i。
对不大于i的所有平方数：j*j，进行遍历，根据状态转移方程：dp[i] = min(dp[i], dp[ i - j * j]+1)，可以知道对于i，j * j应不应该成为组合的一部分。注意：dp[0] = 0。
两重循环遍历完成之后，dp[n]就是要求的结果。

关于解法一的算法分析就先到这里，对于后面相关的类似题目，我还会后续更新，之后可以结合对照着看，因为会有更多体会。

解法三：

纯数学的方法，不知道是不是根据拉格朗日四方定理变形而来的。不过，现在作为一名程序员，优先搞懂DP算法。所以在这里mark一下，后面有时间在看到这道题，可以了解一下，

关于拉格朗日四方定理可参考：Lagrange’s four-square theorem。

程序分析

略。