Out of Boundary Paths 出界的路径数

给定一个 m × n 的网格和一个球。球的起始坐标为 (i,j) ，你可以将球移到相邻的单元格内，或者往上、下、左、右四个方向上移动使球穿过网格边界。但是，你最多可以移动 N 次。找出可以将球移出边界的路径数量。答案可能非常大，返回 结果 mod 109 + 7 的值。

示例 1：

输入: m = 2, n = 2, N = 2, i = 0, j = 0
输出: 6
解释:

示例 2：

输入: m = 1, n = 3, N = 3, i = 0, j = 1
输出: 12
解释:

说明:

1. 球一旦出界，就不能再被移动回网格内。
2. 网格的长度和高度在 [1,50] 的范围内。
3. N 在 [0,50] 的范围内。

思路：采用动态规划，维护一个三维数组dp，其中dp[k][i][j]表示第k步在位置为i,j的地方的走出边界数的数量，那么递推公式为：

long long a = i == 0 ? 1 : dp[k - 1][i - 1][j];
long long b = i == (m-1) ? 1 : dp[k - 1][i + 1][j];
long long c = j == (0) ? 1 : dp[k - 1][i][j-1];
long long d = j == (n - 1) ? 1 : dp[k - 1][i][j+1];
dp[k][i][j] = (a + b + c + d)%(1000000007);

因为每个点都是由其上下左右的点移动过来的，所以对于i,j点而言也是由其上下左右的点移动而来，这里的意思是如果上下左右的点可以到达边界且假设均为1，那么在下一步中这四个点都可以到达i,j点，那么反过来想从i,j出发的点经过k步也一定可以到达边界，且数量是上下左右四条边界的总和。

参考代码：

class Solution {
public:
    int findPaths(int m, int n, int N, int i, int j) {
	vector<vector<vector<int>>> dp(N + 1, vector<vector<int>>(m, vector<int>(n, 0)));
	for (int k = 1; k <= N; k++) {
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				long long a = i == 0 ? 1 : dp[k - 1][i - 1][j];
				long long b = i == (m-1) ? 1 : dp[k - 1][i + 1][j];
				long long c = j == (0) ? 1 : dp[k - 1][i][j-1];
				long long d = j == (n - 1) ? 1 : dp[k - 1][i][j+1];
				dp[k][i][j] = (a + b + c + d)%(1000000007);
			}
		}
	}
	return dp[N][i][j];        
    }
};

给定一个 m × n 的网格和一个球。球的起始坐标为 (i,j) ，你可以将球移到相邻的单元格内，或者往上、下、左、右四个方向上移动使球穿过网格边界。但是，你最多可以移动 N 次。找出可以将球移出边界的路径数量。答案可能非常大，返回 结果 mod 109 + 7 的值。

示例 1：

输入: m = 2, n = 2, N = 2, i = 0, j = 0
输出: 6
解释:

示例 2：

输入: m = 1, n = 3, N = 3, i = 0, j = 1
输出: 12
解释:

说明:

1. 球一旦出界，就不能再被移动回网格内。
2. 网格的长度和高度在 [1,50] 的范围内。
3. N 在 [0,50] 的范围内。