数据结构详解-树-java实现（一）

前言

作为一个程序员，要了解最基本的数据结构的。本文是我在学习了树后作的总结文章，本节大致可以总结为：

什么是树
树的基本性质（专有名词）
什么是二叉树
二叉树的基本性质
二叉树的存储结构

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数据结构详解-树-java实现（一）：https://blog.csdn.net/qingtian_1993/article/details/80637917
数据结构详解-树-java实现（二）：https://blog.csdn.net/qingtian_1993/article/details/80877487

正文

1. 树

1.1 什么是树

树是具有n个结点的有限集合
- 当n=0时，有且仅存在一个结点，该结点称为根结点
- 当n>0时，其余结点分为m个互斥的有限集合T1，T2，T3，每个集合分别称为子树

由此可知，树的定义是一个递归的定义，即树的定义中又用到了树的概念。

1.2 树的结构

     /**
     * 构造函数
     *
     * @param <T>
     */
    public class TreeNode<T> {
        private int index;
        // 数据项
        private T data;
        // 指向左结点分支
        private TreeNode leftChild;
        // 指向右结点分支
        private TreeNode rightChild;

        ... get and set ...
    }

1.3 树的基本性质

结点：包含了数据项和指向其他结点的分支
结点的度：结点所拥有的子树棵树。例如上图中，A的度为1，C的度为2，D的度为3
叶结点&终端结点：即度为0的结点，例如上图中，F，G，H，I，J均为叶结点
分支结点&非终端结点：除了叶结点以外的其他结点
子女结点：若结点x有子树，则子树的根结点即为结点x的子女。例如上图中，A有两个子女，分别为B,C
父结点：若结点x有子女，它即为子女的父结点
根结点：没有父结点的结点称为根结点
兄弟结点：同一父结点的子女互称为兄弟。例如上图中，D,E,F互为兄弟
祖先结点：从根结点到该结点所经历分支上的所有结点。例如上图中，G的祖先结点为A,B,D
子孙结点：某一结点的子女，以及这些子女的子女都是该结点的子孙。例如上图中，结点B的子孙D，G
结点所处的层次：从根到该结点所经路径上的分支条数.根结点在第1层，它的子女在第二层。树中任一结点的层次为它的父结点的层次加1。结点所处层次亦称为结点的深度
树的高度：叶结点的高度为1，非叶结点的高度等于它子女结点高度的最大值加1。该树的高度为4
树的度：树中结点的度的最大值。例如上图中该树的高度为3

2. 二叉树

2.1 什么是二叉树

二叉树是树的一种特殊形态。二叉树的特点是每个结点最多拥有两个子女（就是不存在度大于2的结点），分别称为左子女和右子女，并且二叉树的子树有左右之分，其子树次序不能颠倒。

2.2 特殊二叉树

2.2.1 斜树

所有结点都只有左子树的叫做左斜树，所有节点都只有右子树的叫做右斜树

2.2.2 满二叉树

满二叉树：深度为k的满二叉树是有2^k-1个结点的二叉树。在满二叉树中，每一层的结点都达到了最大个数。除了最底层的结点度为0外，其他各层结点的度均为2。如图所示，给出的是一棵高度为4的满二叉树。

2.2.3 完全二叉树

如果一棵具有n个结点的深度为k的二叉树，它的每一个结点都与高度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应，则称其为完全二叉树。其特点是从第一层到k-1层的所有各层的结点数都是满的，仅最下面第k层是满的，或从右向左连续缺若干结点。

2.3 二叉树的性质

a、在非空二叉树的第i层上，至多有`2^(i-1)`个结点

假设这是一棵满二叉树，则1、2、3层分别有1、2、4个结点，满足以上性质

b、深度为k的二叉树至多有`2^k-1`个结点

假设这是一棵满二叉树，则4层有15个结点，满足以上的性质

c、对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2，则n0 = n2+1

假设二叉树中度为1的结点数为n1，因为二叉树只有度为1，2，0的结点，所以有n=n0+n1+n2。再看二叉树分支条数e，因为二叉树除了根结点没有父结点，进入它的边数为0之外，其他每一结点都有一个且仅有一个父结点，进入它们的边数均为1，故二叉树中总的边数为e=n-1=n0+n1+n2-1。又由于每个度为2的结点发出2条边，每个度为1的结点发出1条边，每个度为0的结点发出0条边，因此总的边数e=2n2+1n1+0n0=2n2+n1,由以上两式可以得出n0= n2+1

上图中结点总数是10，n2(1、2、3、4)为4，n1(5)为1，n0(6、7、8、9、10)为5

d、具有n个结点的完全二叉树深度为`⌈log2(n+1)⌉`，对以2为底n+1对数进行向上取整(⌈⌉是向上取整符号)

可以由性质2得出，深度为k的完全二叉树最多有 $n \leq 2^{k}-1$ 个结点，最少有 $2^{k-1}-1$ 个，因此：

$2^{k-1}-1 < n \leq 2^{k}-1$

$2^{k-1} < n+1 \leq 2^{k}$

$k-1 < log_{2}(n+1) \leq k$

因为 $log_{2}(n+1)$ 介于 K-1 和 K之间且不等于 K-1，深度又只能是整数，所以有⌈ $log_{2}(n+1)$ ⌉

e、如果有一颗有n个结点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的结点i（1<=i<=n）有

如果i=1，则结点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲结点为⌊i/2⌋，向下取整
如果2i>n那么结点i没有左孩子，否则其左孩子为2i
如果2i+1>n那么结点没有右孩子，否则右孩子为2i+1
若结点i为奇数，且i!=1，它处于右兄弟位置，则它的左兄弟结点i-1
若结点i为偶数，且i!=n，它处于左兄弟位置，则它的右兄弟为结点i+1
结点i所在的层次为⌊log2^i⌋+1

通过上图来验证
1. 当i = 1时，结点为根结点；当i=5时，其父结点为5/2 = 2；
2. 当i = 6，2*6 = 12 > 10，结点6无左孩子，满足；当i = 4，2*4 = 8 < 10，结点4的左孩子为8，满足；
3. 当i = 5，2*5 + 1 = 11> 10，结点5无右孩子，满足；当i = 4，2*4 + 1 = 9 < 10，结点4的右孩子为9，满足；
4. 当i = 3，它处于右兄弟位置，且其左兄弟为2
5. 当i = 8, 它处于左兄弟位置，且其右兄弟为9

3 二叉树的存储方式

3.1 完全二叉树的存储结构：顺序存储

对一棵具有n个结点的完全二叉树按照层次编号，则其存储结构可以顺序存储，如下图所示：

3.2 一般二叉树的存储结构：顺序存储

如图所示，其中红色箭头指向的结点不存在，这是一棵一般二叉树。对这棵树按照完全二叉树的方式编号，不存在的结点设置为空，则其存储结构可以顺序存储，如下图所示：

3.3 使用链表来存储二叉树

使用双向链表来存储一棵二叉树，数据结构如下所示：

class TreeNode{

    int data;
    TreeNode leftChild;
    TreeNode rightChild;
}

总结

本章节主要学习了什么是树，树的基本属性，什么是二叉树，二叉树的基本性质以及如何存储一棵二叉树。接下来的章节就要讲解具体的代码，比如：

如何遍历二叉树（递归和非递归）
如何获取树的高度和度
如何创建一棵二叉树

附录

本文参考的资料：

数据结构（用面向对象方法与C++语言描述）第二版，殷人昆主编
图解数据结构——使用java，胡昭民主编

代码传送门，欢迎star：https://github.com/mcrwayfun/java-data-structure