我们知道，给定一个空（时）间滤波器，既可以在空（时）域直接完成数字信号的滤波，也可以在频域完成。空域滤波的数学运算为卷积/相关，对应频域则为点乘/频域数据的共轭（G*）与滤波器(H)的乘积。
简单起见，以一个1D数字信号为例加以说明。
例如：给定信号x = [1 2 2 4 4]，滤波器h = [1 2 3]；
空域滤波（卷积）为：
y = conv(x,h,’same’); % 此处未考虑h系数的归一化问题
则滤波结果为：
y = [4 9 14 18 20]
下面介绍频域方式的滤波过程。由于时域滤波属于有限序列的线性卷积，频域滤波方式实际上是利用离散傅里叶变换（DFT）求时域线性卷积的过程，而DFT本质上是对应时域滤波中针对周期序列的循环卷积。要满足循环卷积与线性卷积计算结果一致，时域信号x(m点)与滤波器h(n点)必须等长。这可以采用补零的方法，使x与h的长度均为L≥m+n–1。这样做的目的，也是为了避免周期函数卷积中因周期靠近引起所谓的频率缠绕错误（混叠）。
一般做法是，对空（时）域数据采用后端补0方式延拓至2倍数据长度。
信号延拓： xp = [1 2 2 4 4 0 0 0 0 0];
由于滤波器h与延拓后的信号xp应保持相同的长度，故也需要补0做延拓。有两种方式：
(1) 双边延拓，滤波器h居中
hp = [0 0 0 0 1 2 3 0 0 0];
(2) 单边延拓，滤波器h居左
hp = [1 2 3 0 0 0 0 0 0 0];
然后，分别对xp,hp做DFT，完成频域滤波并做反变换，即
y = real(ifft(fft(xp).*fft(hp)));
最后，剪裁掉补0多出的后半部分数据，即保留主值序列。则两种方式得到的滤波结果分别为：
y1 = y(1:5) = [12 0 0 0 1]; 和 y2 = y(1:5) = [1 4 9 14 18];
可以看出，第一种延拓，滤波结果与空域结果完全不一致。第二种延拓与空域结果基本一致，但在左右短点处（边界部分）是不一致的。这里，第二种延拓也等价于：
y = real(ifft(fft(x,10).*fft(h,10)));
从傅立叶变换的时域性质知道，两种延拓的频谱是一样的，但相位会发生变化。因此，第一种延拓（两端补零方式，h居中）是不可取的。第二种延拓与空域滤波结果基本一致，但边界上有差异。那么，如何消除这种边界差异，达到与空域考滤波完全一致的结果呢？
我们只要在滤波器h延拓方式上稍作改动，即把空域滤波器中心元素放到最前段（起始点），左端被挤出的元素顺序放在尾部，即所谓的循环移位（circularly shift）法，则有：
hp = [2 3 0 0 0 0 0 0 0 1];
再按以上的相同步骤进行滤波处理，可得：
y = [4 9 14 18 20];
频域滤波与空域滤波的结果就可完全保持一致。
假如，空域做的是相关运算来完成滤波，那么，只要滤波器旋转180度后，采取同样的0填充方式。
显然，以上方式很容易推广到二维情况。如果有以下二维滤波器，即一个计算y方向梯度的Sobel算子。
由于图像的模板运算默认为相关运算，而频域的乘积对应空域卷积。要达到一致性，以上滤波器需要上下颠倒，即旋转180度后(若为对称滤波器，可省此步)，即
以上模板在频域进行点乘可对应h的相关运算。
若需要填充0方式扩大到10×10（根据滤波图像的尺寸而定），则填充方式为：
以上两种方式中，hp的填充方式会出现与空域滤波结果边界上的不一致，而hp’填充方式则可以解决这个问题。
道理很简单，因为空域模板运算的当前像素（原点）一般是在滤波模板的中心像素，即
频域乘积（点乘）对应空域卷积的情况下，是按以下公式：
即原点（见椭圆标记处）是从左上角开始的。
下面的MATLAB代码可以简单实现以上方法，保持h中心像素位于填充区域的左上角。
center_h = ceil((size(h) + 1)/2); % 确定空域滤波器h中心像数坐标
hp = zeros(P, Q); % 生成P×Q的全零矩阵
hp(1:size(h,1), 1:size(h,2)) = h % 左上角填充h，形成延拓滤波器hp
row_indices = [center_h(1): P, 1: (center_h(1)-1)]';
col_indices = [center_h(2): Q, 1: (center_h(2)-1)]';
hp = hp(row_indices, col_indices); % 原点在左上角的延拓滤波器hp
其中，P, Q是扩充后的滤波器尺寸，与待处理图像（M×N）有关（一般取，P = 2M,Q = 2N）。以上代码也就是实现前面提到的滤波器h补零延拓+循环移位过程。滤波器h补零延拓做FFT，虽然可以简单调用Hp = fft2(h,P,Q)来完成（MATLAB内部处理方式），但并未做循环移位，仅仅是右下部补零后计算FFT。因此，滤波结果的边界处并不能保证与空域滤波结果的一致性。空域滤波器h尺寸越大，这种边界差异越明显。例如用25×25，方差为2的空域高斯低通波器进行实验，结果如下。
上一排图分别为原图，空域滤波结果及模板置于左上角的频域滤波结果。可以看出，频域滤波结果有明显的边界效应。下图为模版中心像素置左上角的测试结果（右下图），则与空域滤波结果是完全一致
二
前文（如何保持空域与频域滤波结果的一致性）中谈到，从空域小模板转化到频域滤波时，为了保持空频滤波的一致性，需要合理处理空域滤波器的延拓和布局问题。一般做法是，将小模板的中心通过循环移位后置于补零延拓矩阵的左上角。然后做傅里叶变换，得到对应的频域滤波器，再与延拓后的图像在频率域与滤波器做乘法运算。具体的原理和方法可参看前述博文。
设有一幅M×N的图像f(x,y)，m×n的空域滤波器为h(x,y)，则频域滤波的处理步骤如下：
(1) 消除折叠现象的填充（Zero padding）。即分别对f(x,y)，h(x,y)的右下部补零至P×Q得到fp(x,y)和hp (x,y)，其中h(x,y)需要做循环移位，以使小模板h(x,y)的中心像素置于hp (x,y)的左上角。一般取：P=2M，Q=2N 。
(2) fp(x,y)，hp (x,y)分别做傅里叶变换产生Fp(u,v)，Hp(u,v)。
(3) 中心变换（频谱中心化）。此步也可以不变换，则Hp(u,v)要改变(针对直接在频域生成对称滤波器情况)。
(4) 频域滤波：Hp(u,v)点乘Fp(u,v)。
(5) 傅里叶反变换。
(6) 取实数部分。绝对值很小的虚数部分是浮点运算存在误差造成的。
(7) 空域中心还原变换（反中心化）。若Fp(u,v)未做中心化，此步可省。
(8) 截取有效数据，即左上角的原始图像尺寸M×N部分数据。
以上步骤的滤波，仅限于空域滤波的边界处理为零填充方式。如果空域滤波的边界处理为其他方式，如对称边界（’symmetric’）重复边界（’replicate’）和周期边界（’circular’）等，则依然会存在空频域滤波结果在边界上的差异性。如图1所示，是一个方差为4的25×25高斯低通滤波器对cameraman图像分别在空域和频域滤波结果的对比。可以看出，频域滤波与空域滤波在边界上是不一致的。
图1 仅在空域考虑了边界因素的滤波结果
那么，如何有效解决这个问题呢？其实也很简单，只要在步骤(1)和(8)上稍稍改进，就可以保持空/频域滤波结果边界上的一致性。
第(1)步，根据h(x,y)的尺寸对f(x,y)先做重复边界的扩充，在此基础上做消除折叠的补零延拓，即得到扩大至（2M+行重复边界数）×（2N+列重复边界数）的fp(x,y),如图2所示。对h(x,y)右下部补零至与fp(x,y)的相同尺寸，并循环移位后得到hp (x,y)。
图2 滤波前图像边界扩充及补零延拓
第(8)步，截取有效数据时，应除去左上角单边边界数后的原始图像尺寸（M×N）部分数据(即图2中的红框区域)。其他步骤不变，即可得到与空域滤波完全一致的结果，如图3所示。
MATLAB参考代码如下：
%=============================================================================
inimg = imread('cameraman.tif');
subplot(131)
imshow(inimg), title('Original image')
[M,N] = size(inimg); % Original image size
%====================================================================
h = fspecial('gaussian',25,4); % Gaussian filter
%====================================================================
% 空域滤波
gx = imfilter(inimg,h,'same','replicate'); % 空域图像滤波
subplot(132)
imshow(gx,[]);title('Spatial domain filtering')
%====================================================================
% 频域滤波
%====================================================================
h_hf = floor(size(h)/2); % 空域滤波器半高/宽
imgp = padarray(inimg, [h_hf(1),h_hf(2)],'replicate'); % Padding boundary with copying pixels
% PQ = paddedsize(size(imgp)); % Gonzalez DIP教材提供的函数，非MATLAB内部函数
PQ = 2*size(imgp);
Fp = fft2(double(imgp), PQ(1), PQ(2)); % 延拓图像FFT
% h = rot90(h,2); % Mask旋转180度，非对称h需此步骤！因频域乘积对应空域卷积，而空域滤波为相关。
P = PQ(1); Q = PQ(2);
center_h = h_hf+1; % 空域小模板h中心位置
hp = zeros(P,Q); % 预分配内存，产生P×Q零矩阵
hp(1:size(h,1),1:size(h,2)) = h; % h置于hp左上角
hp = circshift(hp,[-(center_h(1)-1),-(center_h(2)-1)]); % 循环移位，h中心置于hp左上角
%====================================================================
Hp = fft2(double(hp)); % hp滤波器做FFT
%====================================================================
Gp = Hp.*Fp; % 频域滤波
gp = real(ifft2(Gp)); % 反变换，取实部
gf = gp(h_hf(1)+1:M+ h_hf(1), h_hf(2)+1:N + h_hf(2)); % 截取有效数据
subplot(133)
imshow(uint8(gf),[]), title('Frequency domain filtering')
% 注：以上处理中，频域图像Fp与滤波器Hp均未中心化，因此，返回空域时无需反中心化。
% 另外，直接调用Hp = freqz2(h,P,Q)获得的2D频域响应，则是中心化的。