- 算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为特定指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作符。
- 算法具有5个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。
1.输入：算法具有0个或多个输入
2.输出：算法至少有1个或多个输出
3.有穷性：算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成
4.确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性
5.可行性：算法的每一步骤都必须是可行的，也就是说，每一步都能通过执行有限次数完成
- 算法设计的要求
1.正确性：没有语法错误；对于输入的合法数据能产生满足要求的输出结果；对于输入的非法数据能得出满足规格的说明结果；对于精心选择的、甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。一般情况下，我们把第3个作为一个算法是否正确的标准。
2.可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
3.健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或者莫名其妙的结果。
4.时间效率高和存储量低：时间效率指的是算法的执行时间，对于同一个问题，如果有多个算法可以解决，执行时间短的算法效率高，执行时间长的算法效率低。存储量需求指的是算法在执行过程中所需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存空间或外部硬盘存储空间。
- 算法效率的度量方法
1.事后统计方法
这种方法主要通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
缺陷：必须事先编制好程序，需要花费大量精力和时间；时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素；算法的测试数据设计困难，并且程序的运行时间往往还与测试数据的规模有很大关系，效率高的算法在小的测试数据面前往往得不到体现。
2.事前分析估算方法
即在计算机程序编制前，以据统计方法对算法进行估算。
一个高级程序语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：
a）算法采用的策略、方法（算法好坏的根本）
b）编译产生的代码质量（由软件支持）
c）问题的输入规模（算法输入量的多少）
d）机器执行指令的速度（硬件性能）
测试运行时间最可靠的方法是计算对运行时间有消耗的基本操作的执行次数。运行时间与这个计数成正比。
我们不关心编写程序的程序设计语言是什么，也不关心这些程序将跑在什么样的计算机中，我们只关心它所实现的算法。这样，不计那些循环索引的递归、循环终止条件、变量声明、打印结果等操作，最终，在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看作是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。
我们在分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量和输入规模关联起来，即基本操作的数量必须表示成输入规模的函数。
- 函数的渐进增长
函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个正整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐进快于g(n)。
判断一个算法好不好，我们只通过少量的数据是不能做出准确的判断的。我们发现，如果我们可以对比算法间的关键执行次数函数的渐进增长性，基本就可以分析出：某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或越来越差于另一算法。这其实就是事前估算方法的理论依据，通过算法时间复杂度来估计算法时间效率。
- 算法时间复杂度
1.定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记为T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
2.一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。
3.O(1)为常数阶，O(n)为线性阶，O(n^2)为平方阶
4.推导大O阶方法
a)用常数1取代运行时间中的所有加法常数
b)在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
c)如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数
此时得到的结果就是大O阶
- 常见的时间复杂度
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)
- 最坏情况与平均情况
算法的分析也是类似，我们查找一个有n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度就是O(n)，这是最坏的一种情况了。最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。而平均运行时间也就是从概率的角度来看，这个数字在每一位置的可能性都是相同的，所以平均的查找时间为n/2次之后发现这个目标元素。平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。也就是说，我们运行一段程序代码时，是希望看到平均运行时间的。可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。
对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。
- 算法空间复杂度
我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间。算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间来实现，算法空间复杂度的计算公式记为S(n) = O(f(n))，其中n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为O(1)。
通常，使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂度”指空间需求。当不用限定词地使用“复杂度”时，通常指时间复杂度。