Direct3D基础--渲染管线

本文为 Introduction to 3D Game Programming with DirectX 11 读书笔记

- - 补充:透视纹理修正和1/z缓存

Color的XNA实现

XMVECTOR XMLoadColor(CONST XMCOLOR* pSource);

VOID XMStoreColor(XMCOLOR* pDestination, FXMVECTOR V);

Rendering Pipline

Rendering pipline

Input Assembler stage

input assembler (IA) 阶段从内存中读取几何数据，然后用它组合成几何原型（三角形、线等）。

Primitive Topology

被传输到渲染管线的顶点集合称为 vertex buffer，通过指定 primitive topology 来告诉Direct3D怎么从vertex数据中构成集合基元。

void ID3D11DeviceContext::IASetPrimitiveTopology(
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY Topology);

typedef enum D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY
{
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_UNDEFINED = 0,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_POINTLIST = 1,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINELIST = 2,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINESTRIP = 3,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLELIST = 4,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLESTRIP = 5,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINELIST_ADJ = 10,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINESTRIP_ADJ = 11,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLELIST_ADJ = 12,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLESTRIP_ADJ = 13,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_1_CONTROL_POINT_PATCHLIST = 33,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_2_CONTROL_POINT_PATCHLIST = 34,
    ...
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_32_CONTROL_POINT_PATCHLIST = 64,
} D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY;

例子：

md3dImmediateContext->IASetPrimitiveTopology(
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLESTRIP);
/* ...draw objects using triangle strip... */

选择各种primitive_topology形成的基元
primitive topology

triangle topology
上图的图b表示带邻接三角形的三角形列表，adjacent triangles的表示也必须在输入中提供

Indices

因为直接重复的给顶点数据的话，顶点会有很大的冗余，所以使用Index来构成primitive。
例如：

Vertex v [9] = {v0, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8};

UINT indexList[24] = {
    0, 1, 2, // Triangle 0
    0, 2, 3, // Triangle 1
    0, 3, 4, // Triangle 2
    0, 4, 5, // Triangle 3
    0, 5, 6, // Triangle 4
    0, 6, 7, // Triangle 5
    0, 7, 8, // Triangle 6
    0, 8, 1 // Triangle 7
};

An octagon built from eight triangles

The vertex shader stage

顶点着色器对顶点数据进行处理。

Local to World

View Transform

把对象从local坐标系转换到world坐标系
把world坐标系转换到camera坐标系（又称view space, eye space, or camera space），得到

在介绍View Space的时候，书上是先介绍的camera的坐标相对于world坐标的偏移，从view space到world space的转换矩阵 W，其中 $W=RT$ ，那么world space到view space的转换矩阵就是

V = [\begin{matrix} u_{x} & u_{y} & u_{z} & 0 \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} & 0 \\ w_{x} & w_{y} & w_{z} & 0 \\ Q_{x} & Q_{y} & Q_{z} & 1 \end{matrix}]

$V = \begin{bmatrix} u_x & u_y & u_z & 0\\ v_x & v_y & v_z & 0\\ w_x & w_y & w_z & 0\\ Q_x & Q_y & Q_z & 1 \end{bmatrix}$

V = W^{- 1} = (R T)^{- 1} = T^{- 1} R^{- 1} = T^{- 1} R^{T} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - Q_{x} & - Q_{y} & - Q_{z} & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{x} & v_{x} & w_{x} & 0 \\ u_{y} & v_{y} & w_{y} & 0 \\ u_{z} & v_{z} & w_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{x} & v_{x} & w_{x} & 0 \\ u_{y} & v_{y} & w_{y} & 0 \\ u_{z} & v_{z} & w_{z} & 0 \\ - Q_{x} & - Q_{y} & - Q_{z} & 1 \end{matrix}]

$V = W^{-1}=(RT)^{-1}=T^{-1}R^{-1}=T^{-1}R^T\\ =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -Q_x & -Q_y & -Q_z & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_x & v_x & w_x & 0\\ u_y & v_y & w_y & 0\\ u_z & v_z & w_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} u_x & v_x & w_x & 0\\ u_y & v_y & w_y & 0\\ u_z & v_z & w_z & 0\\ -Q_x & -Q_y & -Q_z & 1 \end{bmatrix}$

对Unity的shader比较熟悉的朋友可能会看到
#define COMPUTE_EYEDEPTH(o) o = -UnityObjectToViewPos( v.vertex ).z
这里取出z后在前面加了一个负号，这个还没有特别好的解释，关于这个计算

给定camera坐标，构造camera坐标系统
给定camera的坐标，构造camera坐标系统，因为world space的轴现在是作为标准的坐标，所以这里求出来的就是view space相对于world space的转换，再把上面说的 $V=W^{-1}$ 考虑一下，就可以得到world space到view space的转矩阵了。 $j = (0, 1, 0)$

w = \frac{T - Q}{| | T - Q | |} u = \frac{j \times w}{| | j \times w | |} v = w \times u

$w = \frac{T-Q}{||T-Q||}\\ u = \frac{j \times w}{||j \times w||}\\ v = w \times u$

XNA也提供了函数实现

XMMATRIX XMMatrixLookAtLH( // Outputs resulting view matrix V
    FXMVECTOR EyePosition, // Input camera position Q
    FXMVECTOR FocusPosition, // Input target point T
    FXMVECTOR UpDirection); // Input world up vector j

例子：

XMVECTOR pos = XMVectorSet(5, 3, -10, 1.0f);
XMVECTOR target = XMVectorZero();
XMVECTOR up = XMVectorSet(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f);
XMMATRIX V = XMMatrixLookAtLH(pos, target, up);

Projection and Homogeneous Clip Space

齐次坐标

给定欧式平面上一点(x,y)，对任意非零实数z，三元组(xZ,yZ,Z)即称之为该点的齐次坐标。与笛卡尔坐标不同，一个点可以有无限多个齐次坐标表示法。
- 当Z不为0，则表示欧氏平面上该点为(X/Z,Y/Z)
- 当Z为0，则该点表示一无穷远点
三元组(0,0,0)不表示任何点，原点表示为(0,0,1)。

Defining a Frustum

视椎体体积

定义视椎体的4个数：近平面 $n$ ，远平面 $f$ ，竖直视角(vertical field of view angle) $\alpha$ ，aspect ratio $r$ .
aspect ratio : $r=w/h$ ，其中w和h分别为投影窗口的宽和高。

XZ轴视椎体
YZ轴视椎体

r = \frac{w}{h} = \frac{w}{2} \Rightarrow w = 2 r \tan (\frac{α}{2}) = \frac{1}{d} \Rightarrow d = \cot (\frac{α}{2}) \tan (\frac{β}{2}) = \frac{r}{d} = \frac{r}{\cot (\frac{α}{2})} = r \cdot \tan (\frac{α}{2}) horzontal field of view angle β β = 2 \tan^{- 1} (r \cdot \tan (\frac{α}{2}))

$r = \frac{w}{h} = \frac{w}{2} \Rightarrow w = 2r\\ \tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{d} \Rightarrow d=\cot(\frac{\alpha}{2})\\ \tan(\frac{\beta}{2})=\frac{r}{d}=\frac{r}{\cot(\frac{\alpha}{2})}=r \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})\\ \text{horzontal field of view angle } \beta\\ \beta = 2\tan^{-1}(r \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}))$

Projecting Vertices

YZ投影
XZ投影
给定视椎体中一个顶点 $(x,y,z)$ ，投影到近平面上 $(x^\prime,y^\prime,d)$
公式如下：

\frac{x^{'}}{d} = \frac{x}{z} \Rightarrow x^{'} = \frac{x d}{z} = \frac{x \cot (α / 2)}{z} = \frac{x}{z \tan (α / 2)} \frac{y^{'}}{d} = \frac{y}{z} \Rightarrow y^{'} = \frac{y d}{z} = \frac{y \cot (α / 2)}{z} = \frac{y}{z \tan (α / 2)}

$\frac{x^\prime}{d} = \frac{x}{z} \Rightarrow x^\prime = \frac{xd}{z} = \frac{x\cot(\alpha/2)}{z}=\frac{x}{z\tan(\alpha/2)}\\ \frac{y^\prime}{d} = \frac{y}{z} \Rightarrow y^\prime = \frac{yd}{z} = \frac{y\cot(\alpha/2)}{z}=\frac{y}{z\tan(\alpha/2)}$
如果一个点在视椎体中，那么就有：

- r \leq x^{'} \leq r - 1 \leq y^{'} \leq 1 n \leq z \leq f

$-r \leq x^\prime \leq r\\ -1 \leq y^\prime \leq 1\\ n \leq z \leq f$

标准设备空间 Normalized Device Coordinates (NDC)

为什么需要标准设备空间，因为从视椎体近平面和camera的设置有关，屏幕空间和硬件屏幕有关，这两者之间需要一个桥梁来做转换，所以NDC非常有必要。

在NDC中只有满足如下条件，一个点在camera space才处于视椎体中（下面的z还没有标准化）

- 1 \leq x^{'} / r \leq 1 - 1 \leq y^{'} \leq 1 n \leq z \leq f

$-1 \leq x^\prime/r \leq 1\\ -1 \leq y^\prime \leq 1\\ n \leq z \leq f$
修改投影公式，使之直接将点映射到NDC

x^{'} = \frac{x}{r z \tan (α / 2)} y^{'} = \frac{y}{z \tan (α / 2)}

$x^\prime = \frac{x}{rz\tan(\alpha/2)}\\ y^\prime = \frac{y}{z\tan(\alpha/2)}$

把投影等式写成矩阵形式

这里用了一个小trick，将过程分解为线性和非线性的两个部分。非线性部分就是最后除以z

则投影矩阵为，假设 $A,B$ 为常数

P = [\begin{matrix} \frac{1}{r \tan (α / 2)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan (α / 2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & 1 \\ 0 & 0 & B & 0 \end{matrix}]

$P = \begin{bmatrix} \frac{1}{r\tan(\alpha/2)} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{\tan(\alpha/2)} & 0 & 0\\ 0 & 0 & A & 1\\ 0 & 0 & B & 0 \end{bmatrix}$
则对任意顶点

(x, y, z, 1)

$(x,y,z,1)$

[\begin{matrix} x, & y, & z, & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{1}{r \tan (α / 2)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan (α / 2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & 1 \\ 0 & 0 & B & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{x}{r \tan (α / 2)}, & \frac{y}{\tan (α / 2)}, & A z + B, & z \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x, & y, & z, & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{r\tan(\alpha/2)} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{\tan(\alpha/2)} & 0 & 0\\ 0 & 0 & A & 1\\ 0 & 0 & B & 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{x}{r\tan(\alpha/2)} , & \frac{y}{\tan(\alpha/2)}, & Az+B, & z \end{bmatrix}$
做完投影的线性变换之后，除以w维，

w = z

$w=z$ 。这就是非线性部分

[\begin{matrix} \frac{x}{r \tan (α / 2)}, & \frac{y}{\tan (α / 2)}, & A z + B, & z \end{matrix}] \overset{divide by w}{\to} [\begin{matrix} \frac{x}{r z \tan (α / 2)}, & \frac{y}{z \tan (α / 2)}, & A + \frac{B}{z}, & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \frac{x}{r\tan(\alpha/2)} , & \frac{y}{\tan(\alpha/2)}, & Az+B, & z \end{bmatrix} \overset{\text{divide by w}}{\rightarrow} \begin{bmatrix} \frac{x}{rz\tan(\alpha/2)} , & \frac{y}{z\tan(\alpha/2)}, & A+\frac{B}{z}, & 1 \end{bmatrix}$
除以

w

$w$ 有是被称为 perspective divide或者 homogeneous divide

标准化深度值

上面假设了A和B为常数，最后要将深度值从 $[n,f]$ 映射到 $[0,1]$ 上。
令 $g(z)=A+\frac{B}{z}$ ，则必须满足 $g(n)=0,g(f)=1$
则

A = \frac{f}{f - n} B = \frac{- n f}{f - n}

$A=\frac{f}{f-n}\\ B=\frac{-nf}{f-n}$
最终得到的正交投影矩阵(perspective projection matrix)为

P = [\begin{matrix} \frac{1}{r \tan (α / 2)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan (α / 2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f}{f - n} & 1 \\ 0 & 0 & \frac{- n f}{f - n} & 0 \end{matrix}]

$P = \begin{bmatrix} \frac{1}{r\tan(\alpha/2)} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{\tan(\alpha/2)} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{f}{f-n} & 1\\ 0 & 0 & \frac{-nf}{f-n} & 0 \end{bmatrix}$

XMMatrixPerspectiveFovLH

该投影矩阵也被XNA实现了

XMMATRIX XMMatrixPerspectiveFovLH( // returns projection matrix
    FLOAT FovAngleY, // vertical field of view angle in radians
    FLOAT AspectRatio, // aspect ratio = width / height
    FLOAT NearZ, // distance to near plane
    FLOAT FarZ); // distance to far plane

例子：

XMMATRIX P = XMMatrixPerspectiveFovLH(0.25f*MathX::Pi,
    AspectRatio(), 1.0f, 1000.0f);

//The aspect ratio is taken to match our window aspect ratio:
float D3DApp::AspectRatio()const
{
    return static_cast<float>(mClientWidth) / mClientHeight;
}

THE TESSELLATION STAGES

Tessellation是指把mesh的三角形再分割，添加新的三角形
after tessellation.

THE GEOMETRY SHADER STAGE

geometry shader是可选的，它的主要优势是可以create or destroy geometry

剪裁 CLIPPING

将对象处在视椎体之外的部分剪裁掉
clipping例子
clipping三角形
在homogeneous clip space中，在除以w之前，4D坐标为 $(x,y,z,w)$ ，则

- w \leq x \leq w - w \leq y \leq w 0 \leq z \leq w

$-w \leq x \leq w\\ -w \leq y \leq w\\ 0 \leq z \leq w$

THE RASTERIZATION STAGE(光栅化)

光栅化阶段主要是，从投影的3D三角形，计算pixel color

视口转换（Viewport Transform）

从NDC转换到真实的要输出的窗口或者屏幕坐标

背面剪裁（Backface Culling）

背面剪裁是指将背对着camera的三角形剪裁掉
判断是否背对着camera

e_{0} = v_{1} - v_{0} e_{1} = v_{2} - v_{1} n = \frac{e_{0} \times e 1}{| | e_{0} \times e_{1} | |}

$e_0 = v_1 - v_0\\ e_1 = v_2 - v_1\\ n = \frac{e_0 \times e1}{||e_0 \times e_1||}$
法向量对着camera的是正面front face，否则就是back face
背面剪裁

Vertex Attribute Interpolation

必须对3D space的顶点的深度值，纹理采样点等信息做差值，这需要 perspective correct interpolation，并不是线性差值，如果直接线性差值将会得到下面演示的错误情况。

错误的线性差值演示
下图就是对深度值错误的差值

上图中多边形中screen space各线性差值点对应的world space的z不是线性变化的，而1/z是线性变化的。

THE PIXEL SHADER STAGE

逐像素的计算最后输出的值，这里可以做跟颜色阴影相关的计算

THE OUTPUT MERGER STAGE

所有没有被reject的输出都要写到back buffer。Blending就是在这个阶段做的。

补充:透视纹理修正和1/z缓存

参考自《3D游戏编程大师技巧》

z在屏幕空间中不呈线性变化，只有1/z才呈线性变化。

证明：
使用下述两点之间的差值公式：

\begin{matrix} (1) & p = (1 - t) * p 1 + (t) * p 2 \end{matrix}

$p=(1-t)*p1+(t)*p2 \tag 1$

其中p可以是向量，也可以是标量。
由下图推导出关系
线段差值和透视投影
在上图中，有两个位于世界坐标空间中的点，他们的坐标分别是 $(y1,z1)$ 和 $(y2,z2)$ 。将这些点投影到 $z=d$ 的视平面上，得到点 $(p1,d)$ 和 $(p2,d)$ 。另外，线段上任意一点 $(y,z)$ 投影到视平面上时得到点 $(p,d)$ 。

在3D空间中，位于y-z平面中（x=0）的直线的方程为：

a * y + b * z = c

$a*y+b*z=c$
看上图，根据三角形相似可知，焦点

(p, d)

$(p,d)$ 和3D点

(y, z)

$(y,z)$ 是相似三角形上对应的点：

p / y = d / z

$p/y=d/z$
求解y，得到

y = (p / d) * z

$y=(p/d)*z$ ，
带入到直线方程，得到

(a * p / d) * z + b * z = c

$(a*p/d)*z+b*z=c$ ，
将等式两边除以

(a * p / d)

$(a*p/d)$ ，得到

z = c / ((a * p / d) + b)

$z=c/((a*p/d)+b)$ ，
等式两边取倒数，得到

1 / z = ((a * p / d) + b) / c = (a * p / c * d) + (b / c)

$1/z=((a*p/d)+b)/c=(a*p/c*d)+(b/c)$ ，
将变量p与其他常量分离，得到

\begin{matrix} (2) & 1 / z = (a / c * d) * p + (b / c) \end{matrix}

$1/z=(a/c*d)*p+(b/c) \tag 2$

将上述两个点以及其投影点带入上述等式，得到

1 / z 1 = (a / c * d) * p 1 + (b / c) 1 / z 2 = (a / c * d) * p 2 + (b / c)

$1/z1=(a/c*d)*p1+(b/c)\\ 1/z2=(a/c*d)*p2+(b/c)$
再带入到最上提到的差值公式（1），得到

1 / z = (a / c * d) [(1 - t) * p 1 + (t) * p 2] + (b / c)

$1/z=(a/c*d)[(1-t)*p1+(t)*p2]+(b/c)$
做一下变换，得到

\begin{matrix} (3) & 1 / z = [(a / c * d) * p 1 + (b / c)] * (1 - t) + [(a / c * d) * p 2 + (b / c)] * (t) \end{matrix}

$1/z=[(a/c*d)*p1+(b/c)]*(1-t)+[(a/c*d)*p2+(b/c)]*(t) \tag 3$
观察等式（2）与等式（3）的关系，使用

1 / z 1

$1/z1$ 替换右边的项，可以得到

1 / z = [(1 / z 1)] * (1 - t) + [(1 / z 2)] * (t)

$1/z=[(1/z1)]*(1-t)+[(1/z2)]*(t)$

这意味着可以在 $1/z1$ 和 $1/z2$ 之间进行线性差值。换句话说，任何3D空间量除以z的商在屏幕空间中都是呈线性变化的。