LOJ #562. 「LibreOJ Round #9」Tangjz 的背包

链接：

link

题解：

记 $P = 998244353, r = 19190506, q = \frac{1}{r}$ ，那么答案就是 $r^{p-m} [x^m]\prod_{i=0}^{n-1} (1 + q^ix)$

根据 wiki ，有 $[x^m]\prod_{i=0}^{n-1} (1+q^ix) = q^{\frac{m(m-1)}{2}} \binom{n}{m}_q$

定义 $[k]_q = \sum_{i=0}^{k-1} q^i = \frac{q^k-1}{q-1}$ ， $[n]_q!= \prod_{i=1}^n [i]_q$ ，那么 $\binom{n}{m}_q = \frac{[n]_q!}{[m]_q! [n-m]_q!}$

注意到 $q-1$ 在分子分母中出现的总次数都相等，那么可以忽视掉。

记 $a$ 是 $q$ 模 $P$ 的阶， $F(n) = \prod_{i=1}^n (q^i-1)$ ，将 $F(n)$ 分成两部分，模 $P$ 为 $0$ 的和不为 $0$ 分别计算，有：

$F(n) = (\prod_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{a} \rfloor} (q^{ai} - 1)) (\prod_{i=1, a\nmid i}^n (q^i - 1))$

对于后面部分是很好计算的，考虑算前面部分：

$q^{ai} - 1 = (q^a - 1) (\sum_{j=0}^{i-1} q^{aj})$

注意到后面那个玩意就是 $i$ ，所以前面部分就是 $\lfloor \frac{n}{a} \rfloor! (q^a - 1)^{\lfloor \frac{n}{a} \rfloor}$ 。

如果 $\lfloor \frac{n}{a} \rfloor \neq \lfloor \frac{m}{a} \rfloor + \lfloor \frac{n-m}{a} \rfloor$ ，那么答案显然是 $0$ ，否则消掉 $0$ 之后就是 $\binom{\lfloor \frac{n}{a} \rfloor}{\lfloor \frac{m}{a} \rfloor}$ 。

这里 $a$ 大约是 $10^6$ ，所以 $a$ 和 $\lfloor \frac{n}{a} \rfloor$ 都不是很大，暴力预处理一些东西就可以了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1100000;
const int q = 768906335;
const int r = 19190506;
const int mod = 998244353;
const int period = 917504;

int f[N], g[N], fac[N], ifac[N];

int add(int x, int y) {
  x += y;
  if (x >= mod) {
    x -= mod;
  }
  return x;
}

int mul(int x, int y) {
  return (ll)x * y % mod;
}

int power(int x, int y) {
  int result = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) {
      result = mul(result, x);
    }
    x = mul(x, x);
    y >>= 1;
  }
  return result;
}

int binom(int n, int m) {
  return mul(fac[n], mul(ifac[m], ifac[n - m]));
}

int fact(int n, int m) {
  return mul(f[n], mul(g[m], g[n - m]));
}

int main() {
#ifdef wxh010910
  freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
  f[0] = g[0] = 1;
  for (int i = 1, coef = 1; i < period; ++i) {
    coef = mul(coef, q);
    f[i] = mul(f[i - 1], coef - 1);
    g[i] = mul(g[i - 1], power(coef - 1, mod - 2));
  }
  fac[0] = ifac[0] = fac[1] = ifac[1] = 1;
  int limit = (1000000000000ll + period - 1) / period;
  for (int i = 2; i <= limit; ++i) {
    fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
    ifac[i] = mul(mod - mod / i, ifac[mod % i]);
  }
  for (int i = 2; i <= limit; ++i) {
    ifac[i] = mul(ifac[i - 1], ifac[i]);
  }
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    ll n, m;
    scanf("%lld %lld", &n, &m);
    if (n / period != m / period + (n - m) / period) {
      puts("0");
      continue;
    }
    int p = ((n - m) % period) * (m % period) % period;
    int answer = power(r, p);
    answer = mul(answer, binom(n / period, m / period));
    answer = mul(answer, fact(n % period, m % period));
    printf("%d\n", answer);
  }
  return 0;
}