什么是梯度？
首先梯度是一个向量，其次梯度是多元函数对各个分量求偏导数得到的向量。
为什么梯度垂直于切平面？
首先引入等值面的概念，对于函数W，比如说W = c的所有解是一个等值面。
经过c等值面上某点x的切平面，它包含在等值面上，经过点x的任意一条曲线的切线
假设有一条曲线$\vec r = \vec r (t)$，那么根据链式法则，对t求导
$$\frac{dW}{dt} =\nabla W * \frac{dr}{dt} $$
因为W = c， 等式左边为0，而$\frac{dr}{dt}$就是曲线在这点的速度向量v，所以有$\nabla W * v = 0$，即某点上的梯度与任意切线垂直。
为什么负梯度方向函数下降最快？
首先定义任意一个方向向量$\vec u$，如果函数W在u方向取一个截面，那么问题转化为对于某一个点，哪个截面的曲线下降最快？
对于每个截面的自变量向量$\vec r = \vec r (s)$，s是在这个方向上的步长，有$\vec r (s) = \vec r_{0} + s * \vec u$，所以$\frac {dr}{ds} =\vec u$
同样地通过链式法则，W在u方向对s求导
$$\frac{dW}{ds_{u}} =\nabla W * \frac{dr}{ds} $$
于是
$$\frac{dW}{ds_{u}} =\nabla W * \vec u $$
通过向量点乘公式
$$\frac{dW}{ds_{u}} =||\nabla W|| * ||\vec u|| cose\theta $$
$\vec u$为单位向量
$$\frac{dW}{ds_{u}} =||\nabla W|| * ||\vec u|| cose\theta $$
也就是说，W在任一方向的导数就是梯度在这个方向的投影的长度，任一方向中导数最大的方向就是在梯度方向，反之在负梯度方向导数最小