【hihoCoder1511】树的方差

题意

对于一棵 n (1≤n≤1000000) 个点的带标号无根树，设 d[i] 为点 i 的度数。
定义一棵树的方差为数组 d[1..n] 的方差：
令$p=\overline d$，（d的平均值）（V为方差）

$$V=\frac {{(d_1-p)}^2+{(d_2-p)}^2+...+{(d_n-p)}^2} n$$
给定 n ，求所有带标号的 n 个点的无根树的方差之和。
你需要将答案对 998244353 取模。

题解

总度数一定等于边数的两倍，所以

$$p=\frac {2(n-1)} n$$
把方差拿来化简
$$V=\frac {{(d_1-p)}^2+{(d_2-p)}^2+...+{(d_n-p)}^2} n\\ =\frac {d_1^2+d_2^2+..+d_n^2-2p(d_1+d_2+...+d_n)+np^2} n\\ =\frac {d_1^2+d_2^2+..+d_n^2-\frac {8(n-1)^2} n+\frac {4(n-1)^2} n} n\\ =\frac {d_1^2+d_2^2+..+d_n^2-\frac {[2(n-1)]^2} n} n\\ =\frac {d_1^2+d_2^2+..+d_n^2} n-p^2$$

百度百科——prufer序列
利用prufer序列可以将每个树转换为一个长度为$n-2$的序列（每个长度为$n-2$的序列也可以转换为一个树）
树总共有$n^{n-2}$个
还有一个性质，一个点的度数d=它在prufer序列中出现次数+1。

现在我们需要求方差$V$的前半截，把所有度数的平方加起来除以n
枚举点在prufer序列中出现的次数0~n-2，则这个点的度数平方之和就为

$$C_{n-2}^d\times n\times(n-1)^{n-2-d}\times(d+1)^2$$
$C_{n-2}^d$:序列中选d个位置填同一个点
$n$:这些位置可以选择n个点中的任意一个
$(n-1)^{n-2-d}$: 剩余(n-2-d)个位置填其它点的方案数
$(d+1)^2$:度数的平方

所以总答案就为

$$ans=\left({\sum^{n-2}_{d=0} C_{n-2}^d\times n\times(n-1)^{n-2-d}\times(d+1)^2}\right)/n-p^2\times n^{n-2}\\ =\left({\sum^{n-2}_{d=0} C_{n-2}^d\times(n-1)^{n-2-d}\times(d+1)^2}\right)-p^2\times n^{n-2}$$

代码

#include<cstdio>
const int MAXN=1000005;
const long long MOD=998244353LL;

long long pow_mod(long long a,long long b)
{
    long long res=1LL;
    while(b)
    {
        if(b&1LL)
            res=(res*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1LL;
    }
    return res;
}
long long inv(long long x)
{return pow_mod(x,MOD-2);}

long long fac[MAXN],infac[MAXN],npow[MAXN];

void prepare(int n)
{
    fac[0]=1LL;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fac[i]=(fac[i-1]*i)%MOD;
    infac[n]=inv(fac[n]);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        infac[i]=(infac[i+1]*(i+1))%MOD;
    npow[0]=1LL;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        npow[i]=(npow[i-1]*(n-1))%MOD;
}
long long C(long long n,long long m)
{return fac[n]*infac[n-m]%MOD*infac[m]%MOD;}
long long sqr_mod(long long x)
{return x*x%MOD;}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    prepare(n);
    long long ans=0LL,p;
    p=2LL*(n-1)%MOD*inv(n)%MOD;
    for(int d=0;d<=n-2;d++)
        ans=(ans+C(n-2,d)*sqr_mod(d+1)%MOD*npow[n-2-d]%MOD)%MOD;
    ans=(ans+MOD-sqr_mod(p)*pow_mod(n,n-2)%MOD)%MOD;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}