Misere Nim LightOJ - 1253 (不一样的nim博弈)

Alice and Bob are playing game of Misère Nim. Misère Nim is a game playing on k piles of stones, each pile containing one or more stones. The players alternate turns and in each turn a player can select one of the piles and can remove as many stones from that pile unless the pile is empty. In each turn a player must remove at least one stone from any pile. Alice starts first. The player who removes the last stone loses the game.

Input

Input starts with an integer T (≤ 200), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer k (1 ≤ k ≤ 100). The next line contains k space separated integers denoting the number of stones in each pile. The number of stones in a pile lies in the range [1, 10⁹].

Output

For each case, print the case number and 'Alice' if Alice wins otherwise print 'Bob'.

Sample Input

3

4

2 3 4 5

5

1 1 2 4 10

1

1

Sample Output

Case 1: Bob

Case 2: Alice

Case 3: Bob

题意：给你若干堆石子，每次可以从任意一堆中挑选出来任意个，取最后一枚石子的人输；

思路：一般的nim博弈大家都会吧，一般的就是取最后一枚石子的人赢；

先讨论 n 堆石子全部为1的情况：

    当 n 为奇数时，先手一定输，后手一定赢

    当 n 为偶数时，先手一定赢，后手一定输；

当 n堆 不全部为1的情况：

    我们先看一般的nim博弈的必胜态：当前状态为必胜态，先手经最优策略 取过后，就到达必败态也就是平衡态，平衡态只能转移到不平衡态（必胜态），不平衡态经过 某一个途径 可以 转移到平衡态；

    当n堆 不全部为1时，当一般的nim博弈的必胜态也就是不一样的nim博弈的必胜态，当前状态为 不平衡态；

    先手                 后手             先手                              先手                     后手                          先手

   不平衡态 ---> 平衡态 ---> 不平衡态 ---> .........--> 不平衡态 ---> 不平衡态(下面有解释) --> 平衡态--> 

    必胜态            必败态          必胜态                          必胜态               必败态                 必胜态

    解释：在这些从 不平衡态 到 平衡态 的 转中，在不一样的nim博弈中，有一个临界情况，一定会出现 从不平衡态到不平衡态，后面这个不平衡态 是 （剩下奇数堆且这奇数堆石子数全部都是1），当前这个状态取的人一定输，也是就后手，所以先手一定赢；

代码：                                               

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define Max 110
int main()
{
	int i,j,t,n;
	scanf("%d",&t);
	j = 1;
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		int flag = 0;
		int x,sum = 0;
		for(i = 0;i < n;i ++)
		{
			scanf("%d",&x);
			if(x != 1)
				flag = 1;
			sum ^= x; 
		}
		printf("Case %d: ",j);
		if(!flag)
		{
			if(n&1) printf("Bob\n");
			else printf("Alice\n");
		}
		else
		{
			if(sum) printf("Alice\n");
			else printf("Bob\n");
		}
		j++;
	}
	return 0;
}