八数码问题不用康托展开判断重复8s，用康托展开判断重复30MS。康托展开最大最明显的作用就是在判断状态是否重复方面了，其实属于hash的一个技巧。
一、康托展开
【问题背景】对于一个有n个不同元素的集合{1,2,3,4,...,n}的从小到大排序（从大到小 同理）的全排列 显然它有n！项。如n=4，那么就有4！=4×3×2×1=24项。
与自然数1，2，3，4，-----n！与之一一对应。比如 1～4四个数的全排列按字典序如下：
| 1234：第1个 1243：第2个 1324：第3个 1342：第4个 1423：第5个 1432：第6个 |
2134：第7个 2143：第8个 2314: 第9个 2341：第10个 2413：第11个 2431：第12个 |
3124：第13个 3142：第14个 3214：第15个 3241：第16个 3412：第17个 3421：第18个 |
4123：第19个 4132：第20个 4213：第21个 4231：第22个 4312：第23个 4321：第24个 |
【主要问题】
例1：求4132是第几个排列？ 看上面就知道答案就是：20。 那么是怎么算的呢？
解：总共4个数，所以n=4.ans:=0;
第一个数是4，研究比4小的并且还没有出现过的数有3个：1，2，3。那么ans:=ans+ 3*(n-1)!
所以 ans:= ans+ 3* 3*2*1 =18
第二个数是1，研究比1小的并且还没有出现过的数为 0个。那么ans:=ans+ 0 * (n-2)!，那么ans不变。
第三个数是3，研究比3小的并且还没有出现过的数为1个：2。那么ans:=ans+ 1* (n-3)!,那么ans:=18+1* 1=19
第四个数是2，研究比2小的并且还没有出现过的数为0个。那么ans不变。其实最后一个可以不研究了，比它大和比它小的全都出现过了。 最后ans怎么等于19啊？？代表它前面有19个排列嘛，那么4132自己就是第20个罗（ 最后ans:=ans+1）
例2：问45231是第几个排列？
4 5 2 3 1
ans:= 3*4! + 3*3! + 1*2! + 1*1! + 0*0! + 1 =94
练习
第一题：找出35142在1～5从小到大全排序中的位置？
第二题：找出64827315在1～8从小到大全排列中的位置？
第三题：找出35142在1～5从大到小全排序中的位置？
第四题：找出64827315在1～8从大到小全排列中的位置？
二、康托展开的逆运算
我把之前的div改为/，div是pascal语言的运算符号，/是C++的，意思都一样就是求两个整数除法运算后的商（不理会余数）
例3：1～5从小到大全排列中，找出第96个排列？
解：首先设x1x2x3x4x5, (x1等于？不知道)，用96-1得到95，表示x1x2x3x4x5前面有95个序列。
第一个数x1，假设x1目前有k个比x1小的并且还没有出现过的数，那么
k:= 95 / (n-1)! = 95 / 24=3, 也就是有3个比x1小并且没有出现过的数，那么x1=4.
95变成95-3×24=23
第二个数x2，假设x2目前有k个比x2小的并且还没有出现过的数，那么
k:= 23 / (n-2)! = 23 / 6 = 3, 也就是有3个比x2小并且没有出现过的数，那么x2=5.（有3个数比它小的数是4，但4已经在之前出现过了，所以是5）
23变成 23 – 3 * 6 = 5
第三个数用5去除2! 得到2余1，那第三个数就是还没有出现过的第3小的数3（5变成1）
第四个数用1去除1! 得到1余0，那第四个数就是还没有出现过的第2小的数2
第五个数就是最后还没有出现的那个。
所以这个数是45321
练习：
第五题：8个数从小到大排序，求第28017个排列？
解：首先设x1x2x3x4x5x6x7x8, (x1等于？不知道)，用28017-1得到28016，表示x1x2x3x4x5x6x7x8前面有28016个序列。
第一个数x1，假设x1目前有k个比x1小的并且还没有出现过的数，那么 k= 28016 / (8-1)! = 28016 / 5040=5(28016除以5040等于5，不理余数）, 也就是有5个比x1小并且没有出现过的数，那么x1=6.28016变成28016 - 5040*5=2816
第二个数x2，假设x2目前有k个比x2小的并且还没有出现过的数，那么k= 2816/ (n-2)! = 2816 / 720 = 3, 也就是有3个比x2小并且没有出现过的数，那么x2=4.2816变成 2816– 3 * 720 = 656
关键是理解好第三个数，为什么是8.
第三个数x3，假设x3目前有k个比x3小的并且还没有出现过的数，那么k= 656/ (n-2)! = 656 / 120 = 5, 也就是有5个比x3小并且没有出现过的数，那么x3=？.
1（还没出现过）
2（还没出现过）
3（还没出现过）
4（出现过）
5（还没出现过）
6（出现过）
7（还没出现过）
8（还没出现过）
1、2、3、5、7（这五个还没有出现过），所以答案是x3=8
by scy