求任意多边形面积

其实求多边形面积有许多的方法，这里介绍一个计算几何的方法，比较神奇，只有O(n)的复杂度。
说道计算几何中的神奇方法，就不得不说到向量（又叫矢量，不过这个名词有歧义）。

向量（大佬跳过）

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其实，像这种概念问题，大家都可以去问一下我度娘，还挺详细的。

简介

数学中的向量只有两个值，一个方向，一个大小，于是不论怎么平移，它不会有任何改变。不过，这样子表示向量的话，它的用处就太小了。但是，当我们让向量都从一点出发的话，它的意义就很多了，能够做一些奇奇怪怪的事情。所以在计算机算法里，其中有这样一个表示向量的方法：一般都默认一个向量是从原点出发的，把它另一个端点的坐标记下来。

向量有几个基本运算：加、减、点积、叉积。关于其数学计算方法（计算机中次要）以及几何意义（非常重要），大家请自行去百度吧。

接下来会简单介绍一下以上述记录向量的方法进行基本运算

加减法

加减其实特简单，了解一下基本性质之后（或者百度向量后，看一下加减法的图示，这里就懒一点，不搬运了），特别好推，绝对秒出公式。

点积

两个向量的叉积只会返回一个值，而不是一个向量。其几何意义差不多是下面这样 ,有一个向量 $\vec{a}$ 为BC，还有一个向量 $\vec{b}$为BC。那么，$\vec{a}$与点积$\vec{b}$为$S\Delta ABCD$ ,就是$Ax\cdot By-Ay\cdot Bx$，（注意，不符合交换律）

叉积

叉积返回值是一个向量，大小为点积，方向符合右手螺旋定理，垂直于另外两向量，也就是说叉积运算是三维中的概念（不符合交换律）

计算面积

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思路

比如下面这个：

相信一些眼尖的读者已经发现了，这个多边形上的点都连了一条到原点的线段，相邻两点间的连线与两点和原点的连线构成了8个三角形（多边形共八条线段），如果把其中一些三角形的面积加起来，再减掉另一些三角形的面积，就是所求多边形的面积！而且与原点位置什么都无关！

所以我们只要判断哪些三角形加上，哪些三角形减去即可！至于怎么判断，相信我，向量会自动帮你做这件事。

下面上代码

代码

先上个C++的吧

//输入必须是将点按顺序输入，顺时还是逆时程序会处理的 
#include<cstdio>
using namespace std;
double ans;
int n;
struct Point{
    int x,y;
}a[1000000];
int read(){
    int ret=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
    return ret*f;
}
int main(){
    n=read();//共n个点 
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=(Point){read(),read()};
    for(int i=2;i<=n;i++)
        ans+=(double)(a[i].x*a[i-1].y-a[i].y*a[i-1].x)/*记得求平行四边形面积公式吗*//2.0;
        //求三角形面积。全加起来就好了，因为...面积有方向（正负性），自己会消掉的 
    ans+=(double)(a[1].x*a[n].y-a[1].y*a[n].x)/2.0;//第1和第n个点单独处理 
    if(ans<0.0) ans=-ans;//顺时针与逆时针输入结果互为相反数 
    printf("%lf",ans);
    return 0;
} 

好长时间没写Python了，几乎忘光了，没事干就写了一个Python版的代码（可能非常啰嗦），就不挂注释了。

x=[1]
y=[1]
ans=0
n=0
n=input()
for i in range(1,n+1):
    x.append(0)
    y.append(0)
    x[i],y[i] = [int(j) for j in raw_input().split()]
for i in range(2,n+1):
    ans=ans+(float)(x[i]*y[i-1]-x[i-1]*y[i])/2.0
ans=ans+(float)(x[1]*y[n]-x[n]*y[1])/2.0
if ans<0:
    ans=-ans
print ans