Tsinsen D483 monkey_sort

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题目大意

给定一个长度为 $n \pod {1 \le n \le 500000}$ 的排列 $a$。定义一次操作为交换不同位置的两个元素。求进行了 $m$ 次操作后该排列逆序对的期望。

考场上的思路

$m = 0$ 我会做！$O(n \log n)$ 求逆序对！

思路

考虑每一对位置对答案的贡献（期望的线性性）。设 $f_{i, j, k}$ 表示进行了 $i$ 次操作，$a_j < a_k$ 的概率。那么边界条件为：

$$f_{0, j, k} = [a_j < a_k]$$

最终答案为：

$$\sum_{j > k} f_{m, j, k} \times 1$$

状态转移方程为：

$$f_{i, j, k}= \sum_{j' \ne j} f_{i, j', k} + \sum_{k' \ne k} f_{i - 1, j, k'} + f_{i - 1, k, j} + (\frac {n (n - 1)} {2} - (n - 2) - (n - 2) - 1) f_{i - 1, j, k}$$
（这里省去了除以事件总数）

$(\frac {n (n - 1)} {2} - (n - 2) - (n - 2) - 1)$ 这个系数表示选到了 $j$ 和 $k$ 之外的情况数。这个状态转移方程的含义是看交换了那两个元素，对 $(j, k)$ 有什么影响。

前面的两个和式可以计算出所有的后再减去自己，这样时间复杂度就是 $O(n^3)$。

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