常见算法思想——分支界限法

简单介绍

分支界限法（Branch and Bound）是一种常用的算法思想，用于解决优化问题，特别是在组合优化、图论和排列组合等领域。它通过搜索解空间并利用上界和下界的信息来剪枝搜索树的分支，从而减少搜索空间，提高算法的效率。

算法思想

1. 初始化：设定目标函数的初始值为最小值（或最大值）。
2. 构造解空间树：从根节点开始，根据问题的约束条件生成子节点。
3. 优先选择节点：选择一个节点进行扩展，一般通过计算节点的上界和下界来决定扩展顺序。
4. 剪枝：根据上界和下界的信息，剪去无需再搜索的节点及其子树，减小搜索空间。
5. 更新目标函数：如果当前节点是一个可行解且优于当前最优解，则更新最优解。
6. 继续搜索：返回步骤3，继续选择下一个节点进行扩展，直到搜索完整个解空间。

应用示例

以下是一个使用分支界限法解决0-1背包问题的示例程序，使用C++语言实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

struct Item {
    
    
    int weight;
    int value;
};

bool compare(Item item1, Item item2) {
    
    
    double ratio1 = static_cast<double>(item1.value) / item1.weight;
    double ratio2 = static_cast<double>(item2.value) / item2.weight;
    return ratio1 > ratio2;
}

int bound(int n, int capacity, const std::vector<Item>& items, int level, int currentWeight, int currentValue) {
    
    
    int boundValue = currentValue;
    int remainingWeight = capacity - currentWeight;

    while (level < n && items[level].weight <= remainingWeight) {
    
    
        remainingWeight -= items[level].weight;
        boundValue += items[level].value;
        level++;
    }

    if (level < n) {
    
    
        boundValue += remainingWeight * static_cast<double>(items[level].value) / items[level].weight;
    }

    return boundValue;
}

int knapsack(int n, int capacity, const std::vector<Item>& items) {
    
    
    std::sort(items.begin(), items.end(), compare);

    int currentWeight = 0;
    int currentValue = 0;
    int maxValue = 0;
    int level = 0;
    std::vector<int> selected(n, 0);

    while (true) {
    
    
        if (level < n && currentWeight + items[level].weight <= capacity) {
    
    
            currentWeight += items[level].weight;
            currentValue += items[level].value;
            selected[level] = 1;
        } else {
    
    
            selected[level] = 0;
        }

        if (currentWeight == capacity) {
    
    
            maxValue = std::max(maxValue, currentValue);
        } else if (bound(n, capacity, items, level + 1, currentWeight, currentValue) > maxValue) {
    
    
            level++;
            continue;
        }

        while (level >= 0 && !selected[level]) {
    
    
            currentWeight -= items[level].weight;
            currentValue -= items[level].value;
            level--;
        }

        if (level < 0) {
    
    
            break;
        }

        currentWeight -= items[level].weight;
        currentValue -= items[level].value;
        level++;
    }

    return maxValue;
}

int main() {
    
    
    int capacity = 50;
    std::vector<Item> items = {
    
    {
    
    10, 60}, {
    
    20, 100}, {
    
    30, 120}};

    int maxValue = knapsack(items.size(), capacity, items);

    std::cout << "Maximum value: " << maxValue << std::endl;

    return 0;
}

以上示例程序演示了使用分支界限法解决0-1背包问题。该问题要求在给定背包容量的情况下，选择一些物品放入背包中，使得背包内物品的总价值最大。程序通过计算上界（通过贪心算法得到）和下界（通过松弛问题得到），实现剪枝和搜索过程，最终输出最大的总价值。

文章小结

分支界限法是一种高效的优化问题求解算法，通过剪枝来减小搜索空间，提高算法效率。在实际应用中，可以根据具体问题的特点和约束条件，设计合适的上界和下界计算方法，从而优化算法的性能。