2018江苏高考数学在一片简单、计算量大的喧闹声中落下帷幕。历年来，“数学帝”、“难”、“创新”、“数列”早已给江苏高考数学打上了固有标签，考前考后都受到无数江苏非江苏考生的关注，成为了难易评判的一个衡量标准. 已知集合\(A=\{x|x=2n-1,n\in N^\ast\},\) \(B=\{x|x=2^n,\)\(n\in N^\ast\}.\) 将\(A\cup B\)的所有元素从小到大排列构成一个数列\(\{a_n\}.\) 记\(S_n\)为数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和,则使得\(S_n>12a_{n+1}\) 成立的\(n\)的最小值为____.
此题作为小题来讲，最优解法是列举法：
$S_{26}=\dfrac{21(1+41)}{2}+\dfrac{2(1-2^5)}{1-2}=503, $ $a_{27}=43,12a_{27}=516, $不符
\(S_{27}=S_{26}+a_{27}=503+43=546,\)
$a_{28}=45,12a_{28}=540, $符合. $ \therefore\min n=27. $
那么问题来了，怎么知道要检查26和27呢，或者说你是从第一项开始检查，检查到26和27才得到答案？这样的过程在高考中是不是浪费时间呢？现在，咱们抛开高考因素来看看正常情况下怎么来解答这题. 首先按照下面的列表形式排列\(A\cup B\)中的元素：
\[ \begin{matrix} i=1&&1&&&&&&& \\ i=2&2&3&&&&&&&\\ i=3&4&5&7&&&&&&\\ i=4&8&9&11&13&15&&&&\\ i=5&16&17&19&21&23&25&27&29&31\\ i=6&32&33&35&37&39&41&43&45&\cdots \end{matrix} \]
其中\(i\) 表示行数，每行的第一列数是集合\(B\) 中的数， 用\(S(i)\) 表示前\(i\) 行元素的总和.
先说说具体思路：
根据\(S_n>12a_{n+1}\iff S_{n+1}>13a_{n+1}\) 计算每一行尾数作为\(a_{n+1}\) 是不是合乎要求.
如果不满足要求，转入下一行类似计算，如果满足要求，再计算当前行至少哪个位置上的数满足要求.
依次计算结果就是
\[ \begin{matrix} &S(i)&a&S(i)-13a\\ i=1&1&1&-\\ i=2&6&3&-\\ i=3&22&7&-\\ i=4&68&15&-\\ i=5&286&31&-\\ i=6&1086&63&+\end{matrix} \]
所以要求的\(a_{n+1}\) 在第6行.
下面再确定是哪个数,计算所在整个数列的项数就可以了.
由于集合\(B\)中元素用的比较少，可以先只考虑\(A\)集合 $S_n=n^2>12(2n+1),n>24.5, $
于是在集合\(A\cup B\) 中 \(a_{25}=39\)附近来求解. 这样也可以降低计算量.
如果题目中的12数字改大点，计算量会增加不少，下面我们按照计算题的模式来求解，以便于推广.
不难看出 \(S(i)=2+\cdots+2^{i-1}+1+3+\cdots+(2^i-1)\) \(=\dfrac{2-2^i}{1-2}+(2^{i-1})^2=2^i-2+2^{2i-2}\)
算一下\(a_{n+1}\) 至少在哪一行，
\(S(i)\) 与 \(i\)行尾数即\(2^i-1\) 比较， 即 使得 \(2^i-2+2^{2i-2}>13(2^i-1)\)，
解出\(2^i>47,\) 因此\(a_{n+1}\) 必定在第 \(i=6\)行.
下面再算\(a_{n+1}\) 在第6行的第几个位置.
前5行的和为\(S(5)=2^5-2+2^{2\times5-2}=286,\)
假设\(a_{n+1}\) 是第6行第\(j\) 个数,
\[ \begin{cases} 32+(2j-3),&j\neq1\\\ 32,&j=1\end{cases} \]
当$j=1 $ 时$286+32-13\times32=-98<0 $
当 $j\neq1 $时，$286+32 j+1+3+\cdots+2j-3 $
\(=286+32j+(j-1)^2>13(32+(2j-3))\)
解出\(j>7.69\) ，从而 \(j=8.\)即 \(a_{n+1}=45.\)
再算出45位于整个数列的项数，前5行共 有$(5-1)+2^{5-1}=20 $ 个数，
所以 \(a_{28}=45, n=27.\)
如果将题目要求改成\(S_n>26a_{n+1}\) ,
按照上述方法,可以解出要求的 \(n=57.\)
$S_{n}>26a_{n+1}\iff S_{n+1}>27a_{n+1} $,
根据\(2^i-2+2^{2i-2}>27(2^i-1)\) 求出\(2^i>105,i=7\)
所以\(a_{n+1}\)位于第7行,
前6行的和为\(S(6)=2^6-2+2^{2\times6-2}=1086,\)
假设\(a_{n+1}\)位于第7行第\(j\)个位置,
\(1086+64j+(j-1)^2>27(64+(2j-3),\)
解出 \(j>20\),取\(j=21,\) 前6行共有\((6-1)+2^{6-1}=37\)个数，
所以\(S_{58}>27a_{58},n=57\)
验证:\(S_{56}<27a_{56},S_{57}=27a_{57},S_{58}>27a_{58}.\)