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题目信息
有一个数字矩阵，矩阵的每行从左到右是递增的，矩阵从上到下是递增的，请编写程序在这样的矩阵中查找某个数字是否存在。
要求：时间复杂度小于O(N);
题目分析：
这道题是什么情况呢？其实就是说，有下面的这样一个满足要求的矩阵：
干脆 ， 更直观一点:
也就是，在这样的矩阵（每一行从左到右递增，每一列从上到下递增）中查找一个特定的元素。
如果找到，确定它的位置；如果找不到，输出 -1 ；
法一：
遍历二维数组（低效）
思路
我们首先最容易想到的，也是最简单的方法，就是遍历数组，一个一个去试一试，看看能不能找到。
源码
#define ROW 5
#define COL 5
int main()
{
int key;
scanf("%d",&key);
char arr[ROW][COL] = {
{1,2,3,4,5},{4,5,6,7,8},{5,6,7,8,10},{10,11,12,13,14},{15,16,17,18,19}};
int i = 0;
for(i = 0;i < ROW;i++)
{
int j = 0;
for(j = 0;j < COL;j++)
{
if(key ==arr[i][j])
{
printf("找到了，在%d行%d列\n",i,j);
break;
}
}
}
return 0;
} 
对照一下结果，代码是正确的。
局限性
经过计算，遍历算法的时间复杂度为O(N^2)
虽然遍历算法思路简单易想，这样的时间复杂度太大，不再符合题目要求。
法二：
对每一行二分查找（有所提效）
思路
由于数组的每一行都是有序的，这样就满足了二分查找的使用条件，所以可以直接对每一行二分查找：
直观一点：
源码
#define ROW 5
#define COL 5
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int bi_search(int arr[ROW],int sz,int key)
{
int f = 0;
int left = 0;
int right = sz-1;
int mid = (left + right)/2;
while(left<=right)
{
mid = (left + right)/2;
if(arr[mid] > key)
{
right = mid - 1;
}
else if(arr[mid] < key)
{
left = mid + 1;
}
else if(arr[mid] == key)
{
f = 1;
return mid;
}
}
if(f == 0)
{
return -1;
}
}
int main()
{
int key;
scanf("%d",&key);
int arr[ROW][COL] = {
{1,2,3,4,5},{4,5,6,7,8},{5,6,7,8,10},{10,11,12,13,14},{15,16,17,18,19}};
int i = 0;
int f = 0;
for(i = 0;i < ROW;i++)
{
int ret = bi_search(arr[i],COL,key);
if(ret != -1)
{
f = 1;
printf("找到了，在%d行%d列\n",i,ret);
}
}
if(f == 0)
{
printf("找不到");
}
return 0;
}
在实际动手写代码时，我也遇到了一些问题，比如刚开始把打印找不到放在循环内，结果出现了这样的结果：
这就挺尴尬的，解决办法是引入判断变量f，然后先假设找不到f初始化为0；如果找到，f置为1，如果直到循环完毕，f都没有被置为1，则就是整个数组都没有key；
局限性
经计算，对每一行进行二分查找算法的时间复杂度为O（N log2（N））
虽然速度有所提升，但是效率仍然达不到题目要求。
法三：
利用一切有利条件使用二分查找
思路
我们可以先对行进行二分查找
假设找9，在比9大的前一个元素前停下，由于行列都是从小到大递增的，所以可以断定后两行没有要找的元素9
对行二分查找
后两行没有9
接下来对行进行二分查找，但是我们发现所有的行都小于要查找的key，所以接下来只能对剩下的3行分别二分查找。
在这种n = 5 ，的情况下，我们发现时间复杂度并没有降低多少，我们分析一下：
每一行二分，需要5次；
而先列，进行排除；再行，需要4次；
但是在一般情况下，n可能很大，可能是100000，甚至更大，在这种情况下，程序有很大程度的提效。
时间复杂度N的趋势：
源码
我在写这个代码的时候遇到了一些问题，在对第一列进行二分查找后，在不再次遍历数组的情况下（不再增加时间复杂度），没有办法定位到合适的位置（在这个位置上，数组的后一个元素的大小大于key，数组前一个元素大小小于key，），你可以想一想，私信我交流。
局限性
假设第k个找到合适位置，需要进行两次二分查找，时间复杂度是（log2（N）），剩下每一行都可能会出现key；
但在此处，我选择对排除后的每一行进行二分查找，时间复杂度为（k*log2（k））；
则时间复杂度的表达式为：
T = log2（N）+ k*log2（k） （k < N）
最差情况，k == N，时间复杂度O（N* ( log2 (N) ) ）;
最优解：k == 0,时间复杂度O(1);
其实,我们可以设计更复杂的算法，这样可以进一步提高效率；
提供一种思路：沿着对角线遍历n*n的矩阵，找到合适的停留点，这样又可以排除一部分可能：
如果你可以巧妙利用题目信息，那么，即使有时间限制，oj题目对你来说一定不在话下！
加油吧！
二分查找源码：
int bi_search(int arr[ROW],int sz,int key)//参数分别是：要查找的行，数组元素的个数，要查找的对象
{
int f = 0;
int left = 0;
int right = sz-1;
int mid = (left + right)/2;
while(left<=right)
{
mid = (left + right)/2;
if(arr[mid] > key)
{
right = mid - 1;
}
else if(arr[mid] < key)
{
left = mid + 1;
}
else if(arr[mid] == key)
{
f = 1;
return 1;//如果找到，返回1
}
}
if(f == 0)
{
return -1;//如果找不到，返回-1
}
}
完~
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