【Overload游戏引擎细节分析】从视图投影矩阵提取视锥体及overload对视锥体的封装

overoad代码中包含一段有意思的代码，可以从视图投影矩阵逆推出摄像机的视锥体，本文来分析一下原理

一、平面的方程

视锥体是用平面来表示的，所以先看看平面的数学表达。
平面方程可以由其法线N=（A, B, C）和一个点Q=(x0,y0,z0)定义，其形式为：
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$          整理变为： $Ax+By+Cz+D=0$,       其中$D=-A{x}_0-B{y}_0-C{z}_0$
         方程进一步可以将方程归一化：
$$\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}y+\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}z+\frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0$$ 写成通用格式$$ax+by+cz+d=0$$
那么点 $p=(x_1,y_1,z_1)$到平面的距离为：
$$D=a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d$$
一个平面会将空间分成两个半空间（halfspace），进一步法线的朝向的空间称为正半空间（positive halfspace），法线背离的空间称为反半空间（negative halfspace）。根据D的符号可以判断点的相对位置：

• D < 0， 点位于反半空间
• D = 0， 点位于平面上
• D > 0， 点位于正半空间

这种特性可用于判断点是否在视锥体内部。

二、OpenGL视锥体

视锥体是摄像机能看到的区域，只有在视锥体内的物体才能被看到。其由近平面near、远平面far与周围四个面top、bottom、left、right组成，形成一个平截头体区域。

不过在构建视锥体时一般不直接输入6个平面的方程，常用另外一组更直观易懂的参数：

1. fov – 视锥体的垂直张角
2. Near – 视锥体的近平面距离
3. Far – 视锥体的远平面距离
4. aspect – 相机视口的长宽比

具体含义建下图：

三、Overload对视锥体的封装

Overload对视锥体的封装在文件Frustum.h、Frustum.cpp中。先看其定义：

class Frustum
{
    
    
public:
	/**
	* 根据视图投影矩阵提取视锥体
	* @param p_viewProjection
	*/ 
	void CalculateFrustum(const OvMaths::FMatrix4& _viewProjection);
	/**
	* 判断点是不是在视锥体内
	* @param p_x
	* @param p_y
	* @param p_z
	*/
	bool PointInFrustum(float p_x, float p_y, float _z) const;
	/**
	* 判断球是不是在视锥体内
	* @param p_x
	* @param p_y
	* @param p_z
	* @param p_radius
	*/
	bool SphereInFrustum(float p_x, float p_y, loat p_z, float p_radius) const;
	/**
	* 判断立方体是不是在视锥体内
	* @param p_x
	* @param p_y
	* @param p_z
	* @param p_size
	*/
	bool CubeInFrustum(float p_x, float p_y, float _z, float p_size) const;
	/**
	* 判断包围球是不是在视锥体内
	* @param p_boundingSphere
	* @param p_transform
	*/
	bool BoundingSphereInFrustum(const vRendering::Geometry::BoundingSphere& _boundingSphere, const OvMaths::FTransform& _transform) const;
	/**
	* 返回近平面
	*/
	std::array<float, 4> GetNearPlane() const;
	/**
	* 返回远平面
	*/
	std::array<float, 4> GetFarPlane() const;
private:
	float m_frustum[6][4];  // 6个平面的方程参数
};

m_frustum保存着6个平面的方程参数，为了提升操作便利性，其定义了两个枚举作为索引：

enum FrustumSide
{
    
    
	RIGHT = 0,		// The RIGHT side of the frustum
	LEFT = 1,		// The LEFT	 side of the frustum
	BOTTOM = 2,		// The BOTTOM side of the frustum
	TOP = 3,		// The TOP side of the frustum
	BACK = 4,		// The BACK	side of the frustum
	FRONT = 5		// The FRONT side of the frustum
};

// 平面方程的参数索引
enum PlaneData
{
    
    
	A = 0,				// The X value of the plane's normal
	B = 1,				// The Y value of the plane's normal
	C = 2,				// The Z value of the plane's normal
	D = 3				// The distance the plane is from the origin
};

函数的具体实现在文件Frustum.cpp中，我们先看最基础的判断点是否在视锥体内：

bool OvRendering::Data::Frustum::PointInFrustum(float x, float y, float z) const
{
    
    
	for (int i = 0; i < 6; i++)
	{
    
    
		if (m_frustum[i][A] * x + m_frustum[i][B] * y + m_frustum[i][C] * z + m_frustum[i][D] <= 0)
		{
    
    
			return false;
		}
	}
	return true;
}

定义视锥体的面法线都是朝外的，如果点在视锥体内，点到6个面的距离必须全部小于0。进一步判断球体是否完全在视锥体内，距离必须小于半径的负数。
最后分析一下CalculateFrustum，它是根据一个视图投影矩阵反向构建一个视锥体，具体公式怎么来的可以参考这篇文章，里面将的特别详细：
Fast Extraction of Viewing Frustum Planes from the World View-Projection Matrix
  其本身的代码没啥好说的，无非就是公式的翻译。