牛顿拉夫逊法(Newton-Raphson Method)

(2015-07-02 15:15:48)

http://baike.baidu.com/view/643093.htm

牛顿迭代法（ Newton's method ）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

http://www.cnblogs.com/kemaswill/p/3505133.html

牛顿拉夫逊法(Newton-Raphson <wbr>Method) <wbr>zz

其核心思想是沿着导数方向连续性的逼近一个实函数的根值。

http://blog.csdn.net/lttclaw_/article/details/37316663

二分法基本思想就是在每次将解的可能范围减半，如猜价格游戏就可以很好体现这点。一个物品价格在0到10000间，猜中点然后根据反馈是高了还是低了将猜测范围减半，这样下来，必然能不断趋近于正确结果。

牛顿-拉夫逊法为数学上求近似解的方法，也称牛顿法，切线法，是给一个初始值，这个初始值对应函数的切线与x轴交点为下一个跟接近解的值，依次继续，直到误差小到要求的程度

其实这个方法还是很简单的，比如求解一个非线性方程的根： f(x) = 0。

假设r是这个方程的根，那么:

f(r) = 0

牛顿法的思路就是找到一个离r非常近的x，但是因为r实际上是不知道的，因此也没有办法一开始就可以设置一个很接近于r的x，因此先随机设定一个x0,=》 r = x0 + h，使用taylor展开，下面就是找到一个足够小的h和xn满足上面这个公式，如果h足够小了，那么说明xn就是非常接近r了。

如果f'(xn)=0,那么就表示h就是足够小。

使用上面的方法反复的进行迭代逼近，可以得到一个收敛的解。

http://www.cnblogs.com/begtostudy/archive/2010/08/25/1808029.html

求方程f (x ) = cos(x ) − x ³ 的根。两边求导，得f '(x ) = −sin(x ) − 3x ² 。由于cos(x ) ≤ 1（对于所有x ），以及x ³ > 1（对于x >1），可知方程的根位于0和1之间。我们从x ₀ = 0.5开始。

$\begin{matrix} x_1 & = & x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 0.5 - \frac{\cos(0.5) - 0.5^3}{-\sin(0.5) - 3 \times 0.5^2} & = & 1.112141637097 \ x_2 & = & x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} & = & \vdots & = & \underline{0.}909672693736 \ x_3 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{0.86}7263818209 \ x_4 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{0.86547}7135298 \ x_5 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{0.8654740331}11 \ x_6 & = & \vdots &= & \vdots & = & \underline{0.865474033102} \end{matrix}$