Low-Complexity Beam Allocation for Switched-Beam Based Multiuser Massive MIMO Systems阅读笔记一

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I. INTRODUCTION

本文旨在开发一种低复杂度波束分配算法，以最大限度地提高基于切换波束（switched-beam based）的多用户大规模MIMO系统的总数据速率，该系统采用 Butler 方法，以 $N$ 个天线单元的均匀线性阵列（uniform linear array）为 $K$ 个用户服务，形成大量的 $N$ 个固定波束，即： $\gg K$ 。波束分配问题被表述为具有两个约束条件的组合优化问题（combinatorial optimization problem），即每个用户最多可由一个波束服务，每个波束最多可为一个用户服务。针对暴力搜索导致获得最优解的复杂度为 $O(N^K)$ ，在波束数量 $N$ 较大时难以解决的问题。

本文基于次模优化理论（submodular optimization theory）提出了一种次优低复杂度波束分配(sub-optimization low-complexity beam allocation, LBA)算法，是解决组合优化问题的有力工具[37]。具体而言，首先将原优化问题重构为两划分拟阵约束下（two partition matroid constraints）的非单调次模最大化问题（non-monotone submodular maximization problem），由于目标函数的非单调性，该问题仍然具有较高的计算复杂度。为了降低复杂度，将非单调次模最大化问题进一步解耦（decoupled）为两个子问题，包括一个波束用户关联子问题（beam-user association sub-problem）和一个波束分配子问题（beam allocation sub-problem），该子问题是受单划分拟阵约束（single partition matroid constraint）的单调次模最大化问题（monotone submodular maximization problem），可以通过贪婪算法进行高效求解。然后结合这两个子问题的解提出了LBA算法。仿真结果表明，与最优暴力搜索相比，我们的LBA算法可以实现几乎相同的和数据速率，但复杂度仅为 $\log N)$ 。

请注意，为了最大化和数据速率，一些用户可能不会被服务，这对未服务的用户造成了延迟。因此，研究系统可以同时服务多少个用户是非常重要的。这一性能在论文中通过服务率（service ratio）来表示，服务率被定义为被服务的用户数量与总用户数量的比率。得到了平均服务比率（即用户位置上的平均服务比率）的显式表达式，并表明该表达式是波束数 $N$ 与用户数 $K$ 之比的单调增长函数。仿真结果验证了解析结果可以很好地近似平均服务比率，从而对服务延迟提供了重要的见解。

本文的剩余部分组织如下。第二部分介绍了系统模型和问题表述。在第三节中提出了一种低复杂度的波束分配算法，随后在第四节中提供了仿真结果和讨论，在第五节中总结了结论。

在本文中， $\mathbb{E}[·]$ 表示期望算子。 $\sim \mathcal{C N}\left(u, \sigma^{2}\right)$ 表示均值为 $u$ 、方差为 $σ^2$ 的复高斯随机变量。 $∣ X ∣$ 表示集合 $X$ 的基数。 $2^X$ 表示集合 $X$ 的幂集。 $X \cap Y$ 和 $X\cup Y$ 分别表示集合 $X$ 和集合 $Y$ 的交集和并集。 $\ Y X \backslash Y$ 表示集合 $Y$ 在集合 $X$ 中的相对补集， $\empty$ 表示空集合。 $\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)$ 表示二项式系数，即从 $n$ 个不同的元素集合中，选择 $k$ 个元素的方式数。 $\left\{\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right\}$ 表示第二类斯特林数，即将 $n$ 个不同元素的集合划分为 $k$ 个非空子集的方法数。

II. SYSTEM MODEL AND PROBLEM FORMULATION

如图1(a)所示，考虑具有 $K$ 个用户的基于多用户开关波束（switched-beam based）的系统和具有 $N$ 个等间距相同各向同性天线单元的线性阵列的BS，形成 $N$ 个固定波束的下行传输。假设 $K$ 个用户均匀分布在内部，单位半径的圆形小区，每个用户配备一个天线。BS 位于小区中心，所有BS天线单元在距离 $d = 0.5 λ$ 处等间隔放置，其中 $λ$ 为传播波长。 $\left(\rho_{k}, \theta_{k}\right)$ 表示用户 $k$ 的位置。

在这里插入图片描述

通过应用 Butler 方法形成 $N =2^i$ 的波束(其中 $i \geq 1$ 为整数)，任何波束 $n$ ， $n = 1, 2 ， \cdot\cdot\cdot ， N$ 信号的一个离开角(AoD) $θ$ 的归一化阵列因子（normalized array factor）由[24]给出

$A_{n}(\theta)=\frac{\sin \left(0.5 N \pi \cos \theta-\beta_{n}\right)}{N \sin \left(0.5 \pi \cos \theta-\frac{1}{N} \beta_{n}\right)}\tag{1}$

图1(b)说明了 $N = 16$ 时根据(1)和(2)生成的阵列方向图（array pattern），其中波束指数从左手边到右手边从1增加到 $N$ 。

将用户 $k$ 作为参考用户。与传统蜂窝系统中的多径信道不同[38]-[40]，假设毫米波频率下存在 LOS 信道，则用户 $k$ 处接收信号的 AoD 为 $θ_k$ ，相应的接收功率可写为[41]

$P_{k}=\sum_{n=1}^{N} c_{k, n} \cdot p_{n} \cdot D_{n}\left(\theta_{k}\right) \cdot \rho_{k}^{-\alpha}\tag{3}$

2：指向性是衡量单个天线相对于辐射相同总功率的各向同性天线的指向性。换句话说，指向性是各向异性天线的功率密度相对于辐射相同总功率[42]的各向同性天线的比率。

在(3)中， $c_{k, n} \in\{0,1\}$ 表示波束分配指示器。如果波束 $n$ 被分配给用户 $k$ ， $c_{k, n}=1$ 。

$\max _{\left\{c_{k, n}\right\}_{\forall k, \forall n}} \sum_{k=1}^{K} R_{k}\tag{10a}$

$\text { s.t. } \sum_{n=1}^{N} c_{k, n} \leq 1, \quad \forall k \in\{1,2, \cdots, K\} \text {, }\tag{10b}$

$\sum_{k=1}^{K} c_{k, n} \leq 1, \quad \forall n \in\{1,2, \cdots, N\}\tag{10c}$

$\begin{array}{l} c_{k, n} \in\{0,1\}, \quad \forall k \in\{1,2, \cdots, K\}, \\ \forall n \in\{1,2, \cdots, N\} \end{array}\tag{10d}$

其中(10b)和(10c)分别遵循每个用户最多可以选择一个波束进行发射的约束，每个波束最多可以被一个用户使用，以避免严重的波束内干扰。

对于(10a) - (10d)给出的组合优化问题，在所有 $N +1)^K$ 可能的波束分配中进行暴力搜索，会导致具有大量波束 $N$ 的大规模MIMO系统具有难以承受的高复杂性。

在文献[43]-[47]中，解决组合优化问题（combinatorial optimization problem）的一种广泛采用的方法是将指标 $c_{k,n}$ 松弛为0 ~ 1之间的连续变量，并将目标函数转换为凸函数。然后可以通过凸优化算法高效地求解。然而，在我们的例子中，有 $N \times K$ 指标需要优化，即使进行松弛，仍然会导致大 $N$ 的计算复杂度高得令人望而却步。因此，在本文中，我们求助于次模优化（submodular optimization），它已被证明是解决组合优化问题[37]的有力工具。在下一节中，波束分配问题将被重新构造为服从拟阵约束（matroid constraints）的次模最大化问题。

III. BEAM ALLOCATION DESIGN BASED ON SUBMODULAR OPTIMIZATION

在将我们的波束分配问题重新表述为次模优化问题之前，让我们首先给出[37]中给出的次模函数和拟阵的定义如下。

A. 基本定义

定义1：设 $U$ 为有限的基集， $2^U$ 为 $U$ 的幂集（即U的所有子集的集合，包括空集和 $U$ 本身）。一个集合函数 $f (S)$ ，输入为 $S \subseteq U$ (即 $S∈2^U$ ），输出为实值，记为 $2^{U} \rightarrow \mathbb{R}$ ，可以称其为次模（submodular）如果

$\geq f(S \cap T)+f(S \cup T)\tag{11}$

对于任意的 $S, T \subseteq U$ 。次模函数的一个等价定义是

$\cup\{e\})-f(S) \geq f(T \cup\{e\})-f(T)\tag{12}$

对于任何 $S \subseteq T \subseteq U$ 和 $\ T e∈U \backslash T$ ，即在集合中增加一个额外元素的边际增益会随着集合的大小而减小。直观地说，如果一个集合函数是次模的，那么通过向其中添加更多元素来增加集合大小时，它的边际增益是递减的。

特别地，一个集合函数 $f (S)$ 是单调的如果

$\leq f(T)\tag{13}$

对任何 $\subseteq T \subseteq U$ .

B. Problem Reformulation

$\begin{aligned} U=&\left\{ u_{1,1}, u_{1,2}, \cdots, u_{1, N} ; u_{2,1}, u_{2,2}, \cdots, u_{2, N} ; \cdots ;\right. \\ &\left. u_{K, 1}, u_{K, 2}, \cdots, u_{K, N}\right\}, \end{aligned}\tag{15}$

而波束分配集合 $S$ 为 $U$ 的子集，使得 $u_{k,n}∈S$ 如果波束n被分配给用户k，即ck,n= 1，∀k, n;否则，uk,n∈/ S对于任意波束分配集S⊆U， (10a)的目标函数则可以写成

$R_{S}(S)=\sum_{u_{k, n} \in S} \log _{2}\left(1+\frac{\frac{P_{t}}{|S|} D_{n}\left(\theta_{k}\right) \rho_{k}^{-\alpha}}{\sigma_{0}^{2}+\sum_{u_{j, l} \in S, j \neq k} \frac{P_{t}}{|S|} D_{l}\left(\theta_{k}\right) \rho_{k}^{-\alpha}}\right),\tag{16}$

根据(3)和式(6)-(9)。

约束可以写成两个划分拟阵在地面集合U上的交集，具体来说，让我们将地面集合U划分为K个不相交的子集，U1U，U2U，···，UKU，其中UkU={uk,1，uk,2，···，uk,N}是包含用户K所有可能的梁分配的集合，上标表示根据用户索引对地面集合进行划分。由于波束分配指标ck,n= 1如果uk,n属于波束分配集合S，即uk,n∈S，则(10b)中给出的约束可以写成S∈IU，其中

$\frac{1}{p+2+\frac{1}{p}+\epsilon}$ 是一个值小的给定参数， $p$ 是拟阵约束（matroid constraints）的个数。[48]中也表明?该算法最多需要 $O\left(\frac{1}{\epsilon} p q^{4} \log q\right)$ 个局部运算，其中q为地面集的大小。在我们的案例中，地面集的大小q = |U| = K N，矩阵约束个数? p = 2时，?所需的局部运算次数为 $O\left(\frac{1}{\epsilon}(K N)^{4} \log (K N)\right)$ ，当梁数N较大时，复杂度仍然很高。在下一小节中，将(20a) - (20c)给出的波束分配问题解耦为两个子问题，并在此基础上提出一种低复杂度的波束分配算法。