2023 高教社杯数学建模国赛（E题）深度剖析|黄河水沙检测

题目一

数据整理：
- 从附件1中获取包含水位、水流量、含沙量和时间的数据。确保数据按照时间顺序排列，并做好数据预处理，包括处理缺失值和异常值。
数据可视化（可选）：
- 可以使用数据可视化工具（如Matplotlib）绘制含沙量、水位和水流量随时间变化的图表，以初步观察它们之间的关系。
建立数学模型：
- 假设含沙量与时间、水位和水流量之间存在某种关系，可以选择使用多元线性回归模型。该模型可以表示为：含沙量 = β0 + β1 * 时间 + β2 * 水位 + β3 * 水流量 + ε
- 这里，β0、β1、β2和β3是模型的参数，ε是误差项。
模型参数估计：
- 使用线性回归分析方法，根据数据拟合模型，估计模型中的参数β0、β1、β2和β3。
- 估计的参数将反映时间、水位和水流量对含沙量的影响程度。
模型评估：
- 使用模型对训练数据进行预测，得到预测值。
- 计算模型的拟合优度（通常使用R方值）来评估模型的拟合质量。R方值越接近1，说明模型拟合得越好。
年总水流量和年总排沙量估算：
- 使用模型对近6年的水位、水流量和时间数据进行预测，从而估算含沙量。
- 计算这6年的年总水流量和年总排沙量，即将估算得到的含沙量求和。
结果解释和分析：
- 解释模型的参数，例如，参数β1、β2和β3表示时间、水位和水流量对含沙量的影响程度。
- 分析年总水流量和年总排沙量的估算结果，了解近6年黄河水文情况，以及含沙量与水位、水流量和时间的关联性。

题目二

分析近 6 年该水文站水沙通量的突变性、季节性和周期性等特性，研究水沙通量的变化规律。

1. 数据整理：

收集近6年的水位、水流量和含沙量数据，确保数据按照时间顺序排列。

2. 数据预处理：

可能需要处理缺失数据和异常值。
对时间序列数据进行时间划分，例如按月或按季节。

3. 检验突变性：

使用统计方法（例如，变点检验）来检验水沙通量时间序列是否存在突变点。突变点可能表示重大的水文事件，如洪水或干旱。
一种常用的方法是基于均值或方差的突变检验，例如CUSUM（累积和）或Z检验。

4. 季节性分析：

使用季节分解方法（例如STL分解）来分解水沙通量时间序列，以识别季节性成分（如季节波动）。
可以计算每个季节成分的振幅、相位和频率。

5. 周期性分析：

使用傅里叶变换或小波变换等频域分析方法来检测水沙通量时间序列是否存在周期性成分。
可以估计主要周期和振幅，并绘制周期性成分的谱图。

6. 建立数学模型：

可以使用时间序列分析方法，如ARIMA（自回归整合移动平均模型）或Prophet等，来建立水沙通量的预测模型。
例如，ARIMA模型可以表示为： $Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \ldots + \phi_p Y_{t-p} + \theta_p \varepsilon_{t-p} + \varepsilon_t$
其中，Yt 是时间序列观测值，εt 是白噪声误差，ϕ 和 θ 是模型参数，p 是阶数。

7. 模型评估：

使用模型对数据进行预测，然后评估模型的拟合优度，例如均方根误差（RMSE）或R方值。
可以使用交叉验证等技术来验证模型的稳定性和准确性。

8. 结果解释和分析：

解释模型的参数和结果，例如，检测到的突变点、季节性和周期性成分的特性。
分析水沙通量的变化规律，特别关注可能导致突变或季节性变化的因素，如降雨、融雪等。

9. 数据可视化：

使用图表、谱图等可视化工具来呈现突变性、季节性和周期性分析的结果，使其更容易理解和传达给决策者。

具体来说，ARIMA（自回归整合移动平均模型）是一种常用于时间序列分析和预测的统计模型，用于描述时间序列数据中的自相关性和季节性成分。在问题2中，ARIMA模型可以用来分析水沙通量的变化规律，特别是用于检测自相关性和季节性成分，以揭示水沙通量的趋势和周期性特征。

以下是在问题2中使用ARIMA模型的步骤和解释：

1. 数据准备：

首先，收集了近6年的水位、水流量、含沙量等数据，确保数据按时间顺序排列。

2. 差分操作：

ARIMA模型通常要求时间序列是平稳的，即均值和方差在时间上保持恒定。因此，首先对水沙通量时间序列进行差分操作，以消除趋势和季节性成分。差分操作可以通过计算当前值与前一个值的差来实现。

3. 模型拟合：

选择适当的ARIMA模型：ARIMA模型通常由三个部分组成，分别是自回归（AR）部分、差分（I）部分和移动平均（MA）部分。选择适当的模型阶数（p、d、q）需要通过观察自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图来进行。

4. 模型拟合和参数估计：

利用选定的ARIMA模型阶数，使用时间序列数据来估计模型的参数。这些参数包括自回归系数（AR部分）、差分阶数（I部分）、移动平均系数（MA部分）等。

5. 模型诊断：

对模型进行诊断，检查残差是否是白噪声。可以使用残差的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图进行检查。

6. 模型预测：

使用训练好的ARIMA模型对未来的水沙通量进行预测。这可以用来估算未来一段时间内的水沙通量变化趋势。

7. 结果解释和分析：

解释ARIMA模型中的参数，例如，自回归系数、差分阶数、移动平均系数等，以理解它们对水沙通量的影响。
分析ARIMA模型的预测结果，以了解未来水沙通量的变化趋势和周期性。
需要注意的是，ARIMA模型在实际应用中可能需要不断调整模型的阶数，以获得最佳拟合。

问题三

根据该水文站水沙通量的变化规律，预测分析该水文站未来两年水沙通量的变化趋势，并为该水文站制订未来两年最优的采样监测方案（采样监测次数和具体时间等），使其既能及时掌握水沙通量的动态变化情况，又能最大程度地减少监测成本资源。

1. 数据准备：

收集历史时间序列数据，确保数据包括时间戳和相应的观测值。
检查数据是否平稳，如果不平稳，需要进行差分操作，使其平稳化。

2. 模型选择：

使用自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的图形分析来选择ARIMA模型的阶数（p、d、q）。
ARIMA模型的三个部分分别表示自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）的阶数。
AR部分用于捕捉序列的自相关性，MA部分用于捕捉随机误差的自相关性。

3. 模型拟合：

根据选择的ARIMA模型阶数，拟合模型到历史数据中。
使用统计工具（如Python的statsmodels库）来执行拟合。

4. 模型诊断：

检查模型的残差序列，确保其是白噪声。可以使用Ljung-Box检验等方法进行检查。
如果残差不是白噪声，可能需要重新调整模型或尝试其他模型。

5. 模型预测：

利用已拟合的ARIMA模型对未来时间点的值进行预测。
在预测时，需要提供预测的时间点数目，模型将返回预测值以及相应的置信区间。

6. 结果解释：

可以将预测结果可视化，包括观测数据和预测值的时间序列图，以及置信区间。
分析预测结果，了解未来时间序列的趋势、季节性和周期性特征。

7. 模型评估：

使用模型对数据进行预测，然后评估模型的拟合优度，例如均方根误差（RMSE）或R方值。
可以使用交叉验证等技术来验证模型的稳定性和准确性。
8. 结果解释和分析：

解释模型的参数和结果，例如，检测到的突变点、季节性和周期性成分的特性。
分析水沙通量的变化规律，特别关注可能导致突变或季节性变化的因素，如降雨、融雪等。
9. 数据可视化：

使用图表、谱图等可视化工具来呈现突变性、季节性和周期性分析的结果，使其更容易理解和传达给决策者。
具体来说，ARIMA（自回归整合移动平均模型）是一种常用于时间序列分析和预测的统计模型，用于描述时间序列数据中的自相关性和季节性成分。在问题2中，ARIMA模型可以用来分析水沙通量的变化规律，特别是用于检测自相关性和季节性成分，以揭示水沙通量的趋势和周期性特征。

以下是在问题2中使用ARIMA模型的步骤和解释：

1. 数据准备：

首先，收集了近6年的水位、水流量、含沙量等数据，确保数据按时间顺序排列。
2. 差分操作：

ARIMA模型通常要求时间序列是平稳的，即均值和方差在时间上保持恒定。因此，首先对水沙通量时间序列进行差分操作，以消除趋势和季节性成分。差分操作可以通过计算当前值与前一个值的差来实现。
3. 模型拟合：

选择适当的ARIMA模型：ARIMA模型通常由三个部分组成，分别是自回归（AR）部分、差分（I）部分和移动平均（MA）部分。选择适当的模型阶数（p、d、q）需要通过观察自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图来进行。
4. 模型拟合和参数估计：

利用选定的ARIMA模型阶数，使用时间序列数据来估计模型的参数。这些参数包括自回归系数（AR部分）、差分阶数（I部分）、移动平均系数（MA部分）等。
5. 模型诊断：

对模型进行诊断，检查残差是否是白噪声。可以使用残差的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图进行检查。
6. 模型预测：

使用训练好的ARIMA模型对未来的水沙通量进行预测。这可以用来估算未来一段时间内的水沙通量变化趋势。
7. 结果解释和分析：

解释ARIMA模型中的参数，例如，自回归系数、差分阶数、移动平均系数等，以理解它们对水沙通量的影响。
分析ARIMA模型的预测结果，以了解未来水沙通量的变化趋势和周期性。
需要注意的是，ARIMA模型在实际应用中可能需要不断调整模型的阶数，以获得最佳拟合。

问题四

根据该水文站的水沙通量和河底高程的变化情况，分析每年 6-7 月小浪底水库进行“调水调沙”的实际效果。如果不进行“调水调沙”，10 年以后该水文站的河底高程会如何？

1. 数据收集和准备：

收集每年6-7月的水文站数据，包括进水和出水的流量、含沙量等信息，以及相同时间段内的河底高程数据。
对数据进行清洗和预处理，确保数据的质量和一致性。

2. 调水调沙效果分析：

对每年6-7月的水文站数据进行分析，计算这段时间内的沉积量和河底高程的变化。
使用统计方法计算沉积量的均值、标准差等统计量，以及河底高程的变化幅度。

3. 河底高程长期模拟：

使用数学模型来模拟10年内的河底高程变化，包括两种情况：进行“调水调沙”和不进行的情况。
选择河流沉积模型，如Einstein-Brown运动方程，用于模拟悬浮物运动和沉积过程。
模型参数的估计可以基于历史数据和相关文献。
将模型实施为计算机程序，使用数值方法进行时间步进模拟。

4. 结果分析和对比：

对模拟结果进行分析，比较两种情况下10年内的河底高程变化趋势。
评估“调水调沙”的效果，包括减少的沉积量、保持的河底高程等。
使用可视化工具绘制模拟结果的图表，以便于解释和沟通。

5. 结论和建议：

根据分析结果，提出关于“调水调沙”的建议，包括是否继续实施、如何改进操作方式等。
提供未来10年内水文站河底高程变化的预测，以支持决策制定。
考虑模型的不确定性和敏感性分析，以了解模型结果的可信度。

具体解释：

Einstein-Brown运动方程：该方程描述了颗粒在流体中的运动和沉积过程。它包括颗粒的沉积速度、扩散速度等参数。通过对这些参数的估计，可以模拟颗粒在河流中的运动和沉积。
数值模拟方法：使用离散时间步进法，将Einstein-Brown方程转化为差分方程，以模拟时间上的变化。通常使用数值计算工具，如有限元方法或有限差分法，来解决这些方程。
模型参数估计：通过根据历史数据估计颗粒的大小、密度、初始浓度等参数，以及水流速度、底床摩擦系数等环境参数。
模拟结果分析：模拟结果将提供每个时间步的河底高程数据，可以计算出年度或季度的统计数据，如均值、标准差和最大值等，以便进行对比和分析。

建模思路：

调水调沙效果分析：
- 首先，我们收集每年6-7月的水文站数据，包括进水和出水的流量（$Q_{in}$和$Q_{out}$）、含沙量（$C_{in}$和$C_{out}$）等信息。
- 我们计算这段时间内的沉积量（$Sediment_{in}-Sediment_{out}$），其中$Sediment_{in}$表示进水含沙量与流量的乘积，$Sediment_{out}$表示出水含沙量与流量的乘积。
- 我们还计算河底高程的变化（$Elevation_{end}-Elevation_{start}$），其中$Elevation_{end}$表示每年7月底的河底高程，$Elevation_{start}$表示每年6月初的河底高程。
河底高程长期模拟：
- 我们使用数学模型来模拟10年内的河底高程变化，考虑两种情况：进行“调水调沙”和不进行的情况。
- 模拟过程中，我们使用河流沉积模型，其中包括以下公式：
  - 沉积速度公式： $V_{sediment}= k \cdot (C{in} - C_{\text{out}}) \cdot Q_{\text{in}} \cdot Q_{\text{out}}$ 其中，$V_{sediment}$表示沉积速度，$k$为沉积速度系数。
  - 河床高程变化公式： $Elevation_{t+1} = Elevation_{t} + V_{\text{sediment}} \cdot \Delta t$ 。其中，$Elevation_{t+1}$表示下一时间步的河床高程，$\Delta t$表示时间步长。