数学建模：18 粒子群算法

n = 30;            % 粒子数量，粒子群算法的最大特点就是速度快，因此初始种群取50-1000都是可以的，虽然初始种群越大收敛性会更好，不过太大了也会影响速度；
narvs = 2;         % 变量个数
c1 = 2;            % 每个粒子的个体学习因子，也称为个体加速常数，文献表示取2合适
c2 = 2;            % 每个粒子的社会学习因子，也称为社会加速常数，文献表示取2合适
w = 0.9;           % 惯性权重，一般来说惯性权重取0.9‐1.2是比较合适的，一般取0.9就行
K = 100;           % 迭代的次数
vmax = [6 6];      % 粒子的最大速度：取变量可行域范围的10~20%
x_lb = [-15 -15];  % x的下界
x_ub = [15 15];    % x的上界

初始化粒子位置和速度（随机）：

%% 初始化粒子的位置和速度
x = zeros(n,narvs);
for i = 1: narvs
    x(:,i) = x_lb(i) + (x_ub(i)-x_lb(i))*rand(n,1);    % 随机初始化粒子所在的位置在定义域内
end
v = -vmax + 2*vmax .* rand(n,narvs);  % 随机初始化粒子的速度（这里我们设置为[-vmax,vmax]）

初始化该粒子的最优适应度对应的位置 pbest 为当前位置，全局最优位置 gbest 为 pbest 中最小的那个（因为求解的是最小值问题）：

%% 计算适应度(注意，因为是最小化问题，所以适应度越小越好)
fit = zeros(n,1);  % 初始化这n个粒子的适应度全为0
for i = 1:n  % 循环整个粒子群，计算每一个粒子的适应度
    fit(i) = Obj_fun2(x(i,:));   % 调用Obj_fun2函数来计算适应度
end 
pbest = x;   % 初始化这n个粒子迄今为止找到的最佳位置（是一个n*narvs的向量）
ind = find(fit == min(fit), 1);  % 找到适应度最小的那个粒子的下标
gbest = x(ind,:);  % 定义所有粒子迄今为止找到的最佳位置（是一个1*narvs的向量）

核心公式

最初提出的论文（没有惯性权重）中 c1、c2 取 2 比较合适（最初提出的论文：Kennedy J , Eberhart R . Particle swarm optimization[C]// Proceedings of ICNN'95 ‐International Conference on Neural Networks. IEEE, 1995.
惯性权重 0.9~1.2 合适，一般 0.9（引入惯性权重的论文：SHI,Y. A Modified Particle Swarm Optimizer[C]// Proc. of IEEE ICEC conference, Anchorage. 1998.）

改进惯性权重

惯性权重大：利于全局搜索，不会陷入局部值

惯性权重小：倾向于局部最优值

算法前期应进行全局搜索，后期应局部搜索，所以 w 最好递减

线性递减的惯性权重

非线性递减的惯性权重

自适应的惯性权重

惯性权重和迭代次数、每个粒子的适应度有关

适应度大于平均适应度：惯性权重要大，因为这个解对应的适应度大，需要全局搜索

适应度小于平均适应度：惯性权重要小，因为这个解对应的适应度小，接近最优解（求最小值），需要局部搜索

随机的惯性权重

前面的惯性权重的缺点：迭代前期局部搜索能力不足、后期全局搜索能力不足

另一种随机：

改进学习因子

个体学习因子：在自身局部范围内搜索

社会学习因子：倾向于收敛到局部最优值

需要平衡，不能过早收敛也不能一直在自己范围里搜索

算法前期应 c1 大：局部搜索；后期 c2 大：倾向于收敛

压缩学习因子

非对称学习因子

算法前期应 c1 大：局部搜索；后期 c2 大：倾向于收敛

改进：自动退出迭代

当后期最优值基本不变，没必要一直迭代

设置一个计数器、函数变化量容忍度（变化误差范围）

测试函数

Matlab 自带的粒子群函数 particleswarm

Matlab 中 particleswarm 函数采用的是自适应的邻域模式

自适应：

邻域内粒子数越多，越偏向于全局搜索 —— 邻域模式，全局搜索（适应度又开始下降，应进入邻域模式，来进行全局搜索，以免陷入局部最优）
邻域内粒子越少 —— 全局模式，局部搜索精准打击（当适应度停滞，应进行局部搜索，所以从邻域向全局模式转换，惯性系数 w 也应减小）

该函数如何自适应调整参数：

该函数怎么设置自动退出迭代：下面 6 中方法，前两种用的多

%% 求解函数y = x1^2+x2^2-x1*x2-10*x1-4*x2+60在[-15,15]内的最小值（最小值为8）
narvs = 2; % 变量个数
x_lb = [-15 -15]; % x的下界(长度等于变量的个数，每个变量对应一个下界约束)
x_ub = [15 15]; % x的上界
[x,fval,exitflag,output] = particleswarm(@Obj_fun2, narvs, x_lb, x_ub) 

%% 绘制最佳的函数值随迭代次数的变化图
options = optimoptions('particleswarm','PlotFcn','pswplotbestf')   
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)

%% 展示函数的迭代过程
options = optimoptions('particleswarm','Display','iter');
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)

%% 修改粒子数量，默认的是：min(100,10*nvars)
options = optimoptions('particleswarm','SwarmSize',50);
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)

%% 在粒子群算法结束后继续调用其他函数进行混合求解（hybrid  n.混合物合成物; adj.混合的; 杂种的;） 
options = optimoptions('particleswarm','HybridFcn',@fmincon);
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)

%% 惯性权重的变化范围，默认的是0.1-1.1
options = optimoptions('particleswarm','InertiaRange',[0.2 1.2]);
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)

%% 个体学习因子，默认的是1.49（压缩因子）
options = optimoptions('particleswarm','SelfAdjustmentWeight',2);
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)

%% 社会学习因子，默认的是1.49（压缩因子）
options = optimoptions('particleswarm','SocialAdjustmentWeight',2);
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)

%% 最大的迭代次数，默认的是200*nvars
options = optimoptions('particleswarm','MaxIterations',10000);
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)

%% 领域内粒子的比例 MinNeighborsFraction，默认是0.25 
options = optimoptions('particleswarm','MinNeighborsFraction',0.2);
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)

%% 函数容忍度FunctionTolerance, 默认1e-6, 用于控制自动退出迭代的参数
options = optimoptions('particleswarm','FunctionTolerance',1e-8);
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)

%% 最大停滞迭代数MaxStallIterations, 默认20, 用于控制自动退出迭代的参数
options = optimoptions('particleswarm','MaxStallIterations',50);
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)

%% 不考虑计算时间，同时修改三个控制迭代退出的参数
tic
options = optimoptions('particleswarm','FunctionTolerance',1e-12,'MaxStallIterations',100,'MaxIterations',100000);
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)
toc

%% 在粒子群结束后调用其他函数进行混合求解
tic
options = optimoptions('particleswarm','FunctionTolerance',1e-12,'MaxStallIterations',50,'MaxIterations',20000,'HybridFcn',@fmincon);
[x,fval] = particleswarm(@Obj_fun3,narvs,x_lb,x_ub,options)
toc