一、引言
哈喽大家好，有一段时间没更新Blog了，最近身体不太舒服哈，今天开始继续更了。言归正传，这次要讲的是“粒子群算法”。这个算法是由两个科学家在1995年，根据对鸟类捕食行为的研究所得到启发而想出来的。好的，接下来让我们开始吧。
二、鸟类捕食行为
鸟妈妈有7个鸟宝宝，有一天，鸟妈妈让鸟宝宝们自己去找虫子吃。于是鸟宝宝们开始了大范围的捕食行为。一开始鸟宝宝们不知道哪里可以找得到虫子，于是每个鸟宝宝都朝着不同的方向独自寻找。
但是为了能够更快的找到虫子吃，鸟宝宝们协商好，谁发现了虫子，就互相说一声。
找了一会，终于有一个鸟宝宝（称之为小蓝），似乎发现在他附近不远处有虫子的踪迹。于是它传话给其他鸟宝宝，其他鸟宝宝，收到消息后，边开始改变轨迹，飞到小蓝这边。最终，随着小蓝越来越接近虫子。其他虫宝宝也差不多都聚集到了小蓝这边。最终，大家都吃到了虫子。
三、粒子群算法
3.1 故事分析
鸟宝宝捕食的故事，正是这个粒子群算法存在的原因。因此，如果想更好的了解粒子群算法，我们就要来分析鸟宝宝捕食的故事。首先，我们来分析分析鸟宝宝们的运动状态，即鸟宝宝自身是怎么决定自己的飞翔速度和位置的。
(1) 呐首先，我们知道物体是具有惯性的，鸟宝宝在一开始飞翔的时候，无论它下一次想怎么飞，往哪个方向飞，它都有一个惯性，它必须根据当前的速度和方向来进行下一步的调整。对吧，这个可以理解吧，因此，“惯性”——当前的速度vcurrentvcurrent是一个因素。
(2) 其次，由于鸟宝宝长期捕食，因此鸟宝宝有经验，它虽然不知道具体哪里是有虫子的存在，但是它能大概知道虫子分布在哪里。比如当鸟宝宝飞到贫瘠的地方，它肯定知道这里是不会有虫子的，因此，在鸟宝宝的心中，它每次飞，都会根据自己的经验来找，比如以往虫子分布的地区，它肯定优先对这部分的地方进行搜索。因此，自己的“认知”——经验，也是一个因素。
(3) 最后，每个鸟宝宝发现自己离虫子更接近的时候，便会发出信号给同伴，在遇到这样的信号，其余还在找的鸟宝宝们就会想着，同伴的位置更接近虫子，我要往它那边过去看看。我们称之为“社会共享”，这也是鸟宝宝在移动时考虑的一个因素。
综上所述，鸟宝宝每次在决定下一步移动的速度和方向时，脑子里是由这三个因素影响的。我们想，如果能够用一条公式来描述着三个因素的影响的话，那不就能写出每个鸟宝宝的移动方向和速度么。但是，每一个鸟宝宝，对这三个因素的考虑都是不一致的，比如对于捕食经验不高的鸟宝宝，移动的时候会更看重同伴分享的信息，而对于捕食经验高的鸟宝宝，则更看重自己的经验。因此，我们的公式，在“认知”和“社会共享”这部分，是具有随机性的。
3.2 公式表达
我们的粒子群算法是这样的：
(1) 每一个鸟宝宝，都是我们的解，称之为“粒子”，而我们的虫子，就是我们问题的最优解。也就是说，鸟宝宝捕食过程，也就是所有的粒子在解空间内寻找到最优解的过程。
(2) 每一个粒子，都由一个fitness function来确定fitness value，以此来确定粒子位置的好坏。（这个其实就是模仿鸟宝宝的“经验”判断部分，通过fitness function来确定这个位置是不是所谓的贫瘠地或是虫子可能出现的位置）。
(3) 每一个粒子被赋予了记忆功能，能够记忆所搜寻过的最佳位置。
(4) 每一个粒子都有一个速度以及决定飞行的距离和方向，这个根据它本身的飞行经验和同伴共享的信息所决定。
现在，在d维空间中，有n个粒子。其中：
粒子i的位置：
Xi=(xi1,xi2,⋅⋅⋅,xid)Xi=(xi1,xi2,⋅⋅⋅,xid)
粒子i的速度：
Vi=(vi1,vi2,⋅⋅⋅,vid)Vi=(vi1,vi2,⋅⋅⋅,vid)
粒子i所搜寻到的最好的位置（personal best）：
Pbestid=(pbesti1,pbesti2,⋅⋅⋅,pbestid)Pbestid=(pbesti1,pbesti2,⋅⋅⋅,pbestid)
种群所经历的最好的位置(global best)：
Gbestd=(gbest1,gbest2,⋅⋅⋅,gbestd)Gbestd=(gbest1,gbest2,⋅⋅⋅,gbestd)
另外，我们要给我们的粒子速度和位置做一个限制，毕竟我们不希望鸟宝宝的速度过快或者以及飞出我们要搜寻的范围。因此对于每个粒子i，有：
Xi∈[Xmin,Xmax]Xi∈[Xmin,Xmax]
Vi∈[Vmin,Vmax]Vi∈[Vmin,Vmax]
根据前面的分析，我们可以写出下面两条公式：
- 在d维空间中，粒子i的速度更新公式为：
Vki=wVk−1i+c1rand()(Pbesti−Xk−1i)+c2Rand()(Gbesti−Xk−1i)Vik=wVik−1+c1rand()(Pbesti−Xik−1)+c2Rand()(Gbesti−Xik−1)
- 在d维空间中，粒子i的位置更新公式为：
Xki=Xk−1id+Vk−1iXik=Xidk−1+Vik−1
在上式中，上标k-1和k表示粒子从k-1次飞行操作到下一次飞行操作的过程。
(1) 我们先来看看速度更新公式，可以看出包含三部分，分别是我们前面分析的“惯性”、“认知”、“社会共享”这三大块。而rand()和Rand()分别给“认知”和“社会共享”提供随机性，即每个粒子对这两部分的看重是不一样的。其中c_{1}和c_{2}是我们自己加的，表示我们自己对这两部分的分量的控制。另外w是一个惯性的权重，是用于调节对解空间的搜索范围。关于这个w的出现还有一段历史，大家感兴趣的可以去查查论文，这里就不细讲了。
(2) 接着是位置更新公式，这部分很简单，我们都知道x=x0+vtx=x0+vt。可是这里为什么少了个tt呢，这里我们可以简单理解为从k-1次飞行到下一次飞行，耗费了一个单位时间tt，因此就没有tt出现了。
好了，上面那两个公式就是粒子群算法的核心了。
3.3 算法流程
(1) Initial:
初始化粒子群体（群体规模为n），每个粒子的信息包括随机位置和随机速度。
(2) Evaluation
根据fitness function，算出每个粒子的fitness value。
(3) Find the Pbest
对于每个粒子，将其当前的fitness value与历史最佳的位置（Pbest）所对应的fitness value做比较。若当前的fitness value更高，则将当前的位置更新Pbest。
(4) Find the Gbest
对于每个粒子，将其当前的fitness value与群体历史最佳的位置（Gbest）所对应的fitness value做比较。若当前的fitness value更高，则将当前的位置更新Gbest。
(5) Update the Velocity and Position:
根据公式更新每个粒子的速度和位置
(6) 如果未找到最佳值，则返回步骤2。（若达到了最佳迭代数量或者最佳fitness value的增量小于给定的阈值，则停止算法）
四、粒子群算法Matlab代码示例
4.1 利用粒子群算法计算一元函数的最大值
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |
|
其中，适应值函数被封装到fun.m中，如下：
| 1 2 3 4 5 |
|
运行上述代码，得到的数据和图如下：
| 1 2 |
|
可以看到，红点处正是我们函数的最大值处。
4.2 利用粒子群算法计算二元函数的最大值
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 |
|
其中，适应值函数被封装到fun.m中，如下：
| 1 2 3 4 5 |
|
运行上述代码，得到的数据和图如下：
| 1 2 |
|
可以看到，图中标注的地方是我们求得的最大值处。其实我们知道，对于这个函数，因为是对称的，所以4个点都是同样的最大值，这就是粒子群算法的缺点了。很容易陷入局部最优解。因为我们的粒子群算法其实并不知道什么是最优解，它只是让粒子不断的找一个相对之前所有的解都是最好的一个解。所以，这样的粒子群算法是有局限性的，用的时候要根据场合来选择。