【计算复杂性理论】证明复杂性（Proof Complexity）（一）：简介

证明复杂性介绍

1. 问题引入

我们知道，勾股定理有超过350种证明。^[1]上中学的时候，我们只需要能给出一个证明就可以了；但是怎么衡量证明的好坏呢？一般来讲，我们倾向于认为简洁的、优雅的证明是好的。那这个又怎么体现呢？我们可以用证明的长度来衡量它的简洁程度。写出来最短的证明就是最简洁的，而简洁的证明一般更容易理解，因此也是最好的。

但是，即使是同一种证明，每个人写出来的长度也可能有所不同。那么怎么能让同一种证明有一种固定的写法呢？这就是证明论（Proof Theory）要研究的内容了。在证明论中，证明（即形式化的证明，formal proof）被定义为包含一些符号的字符串，它必须满足一些明确的规则并证明一个定理，而这个定理也是由符号组成的字符串表达的。^[2]那么，证明就不能随便写出来，而是必须根据规则来写，从而保证同一种证明方法写出来的证明是完全一样的。这样，我们就可以通过衡量证明的长度来评价证明的好坏了。

写出证明的过程需要用到数理逻辑。一般的定理是用一阶逻辑写出来的，不过我们在这篇文章中不讨论一阶逻辑，而是讨论命题逻辑（propositional logic）。命题逻辑最基本的单位是命题变量（布尔变量），也就是只能取$1$（true）或$0$（false）的变量。变量可以由连接词（connective）连接起来，形成命题公式。赋值（assignment）就是给每个变量一个值，这样一个命题公式就有了一个确定的值。一个文字（literal）就是一个命题变量或它的否定。如果一个布尔公式在所有赋值下的值都是$1$，那么称它为永真式（tautology）。

如果一个布尔公式在某一赋值下的值为$1$，则称其为可满足的（satisfiable）。否则，若它在任何赋值下的值都为$0$，则称其为不可满足的（unsatisfiable）。

我们说一个公式集合$T$蕴含公式$\alpha$，记作$T\models \alpha$，就是说任何使$T$中每个公式都为真的赋值都使$\alpha$为真。如果公式$\alpha$、$\beta$满足$\beta \models \alpha$，就相当于$\neg \beta \vee \alpha$是永真式。两个公式$\alpha$、$\beta$是逻辑等价的当且仅当$\beta \models \alpha$且$\alpha \models \beta$。

证明复杂性一般研究的是命题逻辑中永真式的证明长度。这和计算复杂性理论有什么关系呢？一方面，我们的最终目的是让计算机自动寻找证明，所以这就涉及到了计算复杂性。另一方面，计算机想要找到一个证明所花费的时间首先至少是证明的长度，如果短证明不存在，那么计算机所花费的时间也注定是很长的。因此，研究短证明是否存在，是研究计算机自动寻找证明的前提条件。

证明复杂性是SAT求解的基石。我们知道，一个算法如果能判定一个布尔表达式是否满足，必须在它不可满足的时候给出对于它不可满足的证明。你可能会问，一个判定算法只要正确地判定布尔表达式是否可满足就可以了，为什么还要给出证明呢？因为，如果算法确实是正确的，那么它判定某个布尔表达式不可满足的事实就是一个证明。所以，想要设计出能够判定可满足性的算法，就必须让算法能够给出不可满足性的证明。对公式$A$不可满足性的证明，就是对$\neg A$是永真式的证明，因此证明的长度SAT算法复杂度的下界。如果某些不可满足的公式只有指数级长度的证明（即最短证明的长度是公式长度的指数函数），那么SAT求解器证明它不可满足至少要花费指数级的时间，也就是说SAT求解器的最坏运行时间是指数级别的，从而我们可以判断SAT问题没有多项式时间的算法，进而证明$\mathsf{P}\ne \mathsf{NP}$。

那么是不是所有的永真式都有短证明（一般说短证明就是多项式大小的证明）呢？这仍是一个未解决的问题，而且这个问题实际上就是$\mathsf{NP}\stackrel{?}{=}\mathsf{coNP}$问题的另一种说法。我们以后将会看到这一点。

2. 一些定义

我们可以把一个命题公式表示成一个树形结构，比如公式$\neg (\neg (a\vee b)\wedge (a\vee (c\wedge \neg d)))$就可以表示成

树的结点个数称为公式的大小，比如上面这个公式的大小就是$12$。

我们接下来给出逻辑深度（logical depth）的概念。一个公式$\alpha$的逻辑深度$l\mathrm{dp}(\alpha )$按如下方式定义：

• 变量和常数的逻辑深度为$0$；
• 对于一个$k$元连接词$\circ$，公式$\circ ({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_k)$的逻辑深度为$1+\underset{i}{\max }l\mathrm{dp}({\beta }_i)$。

比如我们上面给出树形结构的那个公式的逻辑深度是$5$。

我们还需要替换（substitution）的概念。考虑一个公式$\alpha$，它涉及到的变量为$v_1,v_2,\cdots ,v_n$，对变量的一个替换$\sigma$就是从每个变量$v_i$到一个公式${\beta }_i$的映射，记作$\sigma (\alpha )$。比如对公式$\alpha =a\vee (b\wedge c)$，进行替换$\sigma :a\mapsto b,b\mapsto b\vee c,c\mapsto a$得到的结果$\sigma (\alpha )$就是$b\vee ((b\vee c)\wedge a)$。

3. 证明系统

有没有办法自动验证证明的正确性呢？对于咱们一般写出来的证明，这很难实现；但这里我们讨论的形式化的证明是必须满足一定的规则的，对于这样的证明我们往往能够设计一个算法来验证证明的正确性。这样的验证算法（verifier）接受两个字符串：一个是要证明的命题，一个是对命题的证明，算法检查这个证明到底能否证明给定的命题，如果能则接受，如果不能则拒绝。一般要求验证算法不会拒绝正确的证明，也不会接受不正确的证明。而且，这个算法必须是多项式时间的。接下来，我们引入证明系统的形式化定义。

定义1（Cook-Reckhow^[4]） 一个函数命题证明系统（function propositional proof system）是一个多项式时间可计算的函数 P : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ P:{\{0,1\}}^*\to{\{0,1\}}^* P:{ 0,1}∗→{ 0,1}∗，其值域恰好是所以永真式构成的集合$\mathrm{TAUT}$。一个字符串$w$如果是的$P(w)=\alpha$，则称$w$是$\alpha$的一个$P$-证明。

事实上，$P$的定义域就是证明的集合，值域就是永真式的集合。$w$被映射到$\alpha$，就表明$w$是$\alpha$的一个证明；如果有字符串映射到$\alpha$，则说明$\alpha$有证明。要求$P$的值域恰好是$\mathrm{TAUT}$，就是说：$P$的值域不能比$\mathrm{TAUT}$大（即不是永真式就不能有证明），也不能比$\mathrm{TAUT}$小（必须所有永真式都有证明）。

设$P$是一个证明系统，$\alpha$是一个命题公式。定义${\mathbf{s}}_P(\alpha )=\{\begin{array}{ll}\underset{P(\pi )=\alpha }{\min }|\pi |,& \alpha \in \mathrm{TAUT}\\ \infty ,& \alpha \notin \mathrm{TAUT}\end{array}$，直观地讲这就是$\alpha$在证明系统$P$中最短证明的长度。定义一个证明系统$P$是有多项式上界（p-bounded）的，当且仅当存在常数$c\ge 1$使得对于所有永真式$\alpha$，都有${\mathbf{s}}_P(\alpha )\le {(|\alpha |+c)}^c$^[4]。（这里括号里加$c$是为了应对$|\alpha |=1$的情况；也可以写成${\mathbf{s}}_P(\alpha )=O\left({|\alpha |}^c\right)$。）

回想以下，$\mathrm{TAUT}$是$\mathsf{coNP}$完全问题（见【计算理论】复杂性类coNP
）。我们有如下定理：

定理2（Cook-Reckhow Theorem^[4]） $\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$当且仅当存在具有多项式上界的证明系统。

证明提要：设有形式语言 L ⊆ { 0 , 1 } ∗ L\subseteq{\{0,1\}}^* L⊆{ 0,1}∗，若对于任意$x\in L$，总存在一个长度不超过$|x|$的多项式的证明来见证$x\in L$这个事实，那么$L\in \mathsf{NP}$。因为$\mathrm{TAUT}$是$\mathsf{coNP}$完全的，所以$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$等价于$\mathrm{TAUT}\in \mathsf{NP}$，这就是说每个永真式都有一个长度为多项式级别的证明，那也就等价于存在具有多项式上界的证明系统。

一个目前还未解决的重要的问题是：$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$吗？也就是，是否存在具有多项式上界的证明系统？

上面我们介绍了具有多项式上界的证明系统，接下来我们介绍比较两个证明系统的方式：多项式模拟。

定义3^[4] 设$P$和$Q$是两个命题证明系统。一个多项式时间可计算的函数 f : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ f:{\{0,1\}}^*\to{\{0,1\}}^* f:{ 0,1}∗→{ 0,1}∗是$P$对$Q$的一个多项式模拟（p-simulation），当且仅当对于所有字符串$w$，都有$Q(w)=P(f(w))$。

怎么理解呢？设$Q(w)=\alpha$，即$w$是对永真式$\alpha$在证明系统$Q$中的证明。那么，函数$f$就是把$Q$系统中的证明$w$转化为了$P$系统中的证明$f(w)$，使得$f(w)$在$P$系统中仍然是对$\alpha$的证明。如果这样的函数$f$存在，那也就是说每个$Q$中的证明$w$在系统$P$中都有一个长度不超过$|w|$的多项式的证明，因此系统$P$的效力不弱于$Q$。我们把$P$对$Q$有多项式模拟记作$P{\ge }_{p}Q$。如果$P{\ge }_{p}Q$且$Q{\ge }_{p}P$都成立，则称$P$和$Q$是多项式等价的，记作$P{\equiv }_{p}Q$。

定义证明系统$P$是多项式最优（p-optimal）的，当且仅当$P$多项式模拟其他所有证明系统$Q$。说$P$是最优（optimal）的，当且仅当对所有的证明系统$Q$，存在$c\ge 1$，使得对于所有的永真式$\alpha$，都有${\mathbf{s}}_Q(\alpha )\le {{\mathbf{s}}_P(\alpha )}^c$。相比于多项式最优，最优的定义不要求“多项式模拟”，即不要求多项式时间可计算的函数$f$的存在性，因此是更松的条件。

下面的几个问题也是著名的未解决的问题：

• 最优性问题：是否存在多项式最优，或者至少是最优的证明系统？
• 证明搜索问题：是否存在的一个最优的确定性算法，使得对于任意永真式$\tau$，都可以在证明系统$P$中找到$\tau$的一个证明？这个算法找到的证明长度和最短证明长度的关系是什么呢？算法的复杂度怎样呢？

如果存在具有多项式上界的证明系统，则$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$；如果我们还可以在多项式时间内把每个永真式的证明找出来，则$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$。所以，研究证明复杂性对$\mathsf{P}\stackrel{?}{=}\mathsf{NP}$问题的解决具有重要意义。

参考文献

[1] Beetle, Ralph Dennison and Elisha Scott Loomis. “The Pythagorean Proposition.” (1968).
[2] Buss, Samuel R. “An Introduction to Proof Theory.” (2010).
[3] Krajícek, Jan. “Proof complexity.” Mathematics and Computation (2019). 这是这篇文章主要的参考文献。
[4] Cook, Stephen A. and Robert A. Reckhow. “The Relative Efficiency of Propositional Proof Systems.” Logic, Automata, and Computational Complexity (1979).