Caputo 分数阶微分方程-慢扩散方程初边值问题的 L-逼近空间阶方法及其 Matlab 程序实现
引言：
分数阶微分方程是一类具有非整数阶导数的微分方程，具有广泛的应用领域。慢扩散方程是分数阶微分方程的一种特例，描述了扩散过程中的长时间尾部行为。本文介绍了一种基于 L-逼近的空间阶方法，用于求解 Caputo 分数阶微分方程-慢扩散方程的初边值问题，并提供了相应的 Matlab 程序实现。
方程介绍：
我们考虑以下形式的 Caputo 分数阶微分方程-慢扩散方程的初边值问题：
D^alpha u(x, t) = k * (d^2 u(x, t) / dx^2), 0 < x < L, 0 < t <= T,
u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = f(x), 0 <= x <= L,
其中，D^alpha 表示 Caputo 导数，0 < alpha < 1 是分数阶导数的阶数，k 是扩散系数，L 是空间区域的长度，T 是时间终点，f(x) 是初始条件函数。
L-逼近的空间阶方法：
L-逼近的空间阶方法是一种基于基函数逼近的方法，用于离散化空间变量。我们将空间区域 [0, L] 离散化成 N 个网格点，记为 x_i = i * h，其中 h = L / N，i = 0, 1, 2, …, N。然后，我们使用 L-逼近的方法将分数阶导数转化为常规导数，以便在离散空间上求解。
具体地，我们使用 Lagrange 插值多项式作为基函数。对于任意的 x，我们可以定义插值多项式 L_j(x)：