浮点数的近似保存与计算

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负数的补码存储

首先我们回忆一下负数的补码表示。我们都知道，有符号数的负数使用补码的方式进行存储：

补码表示

之所以这样，就是 方便统一运算 ，如果负数不是使用补码的方式表示，则在做基本对加减法运算的时候， 还需要多一步操作来判断是否为负数，如果为负数，还得把加法反转成减法，或者把减法反转成加法 ，这就非常不好了，毕竟加减法运算在计算机里是很常使用的，所以为了性能考虑，应该要尽量简化这个运算过程。

十进制浮点数与二进制的转换

有限循环的二进制

这种最简单的情况，直接遵照我们的默认转换方法：

整数部分采用：除 2 取余法
小数部分采用：乘 2 取整法

其计算过程如下图所示：

反之二进制转换为十进制则较为简单，按位乘以2的对应幂次即可：

无限循环的二进制

上面所说的是可以用有限位二进制表示的十进制数，但是还有的数字是无法用有限位二进制来表达的，它们转换的过程中变成了无限循环的二进制。

例如按照之前的算法，对于 0.1 ，转换为二进制，过程如下：

可以发现，0.1 的二进制表示是无限循环的。

由于计算机的资源是有限的，所以是没办法用二进制精确的表示 0.1，只能用「近似值」来表示，就是在有限的精度情况下，最大化接近 0.1 的二进制数，于是就会造成精度缺失的情况。在后面会介绍0.1这种无限循环二进制数是如何在计算机中保存的。

计算机对浮点数的保存

现在绝大多数计算机使用的浮点数，一般采用的是 IEEE 制定的国际标准，这种标准形式如下图：

这三个重要部分的意义如下：

符号位：表示数字是正数还是负数，为 0 表示正数，为 1 表示负数；
指数位：指定了小数点在数据中的位置，指数可以是负数，也可以是正数，指数位的长度越长则数值的表达范围就越大；
尾数位：小数点右侧的数字，也就是小数部分，比如二进制 1.0011 x 2^(-2)，尾数部分就是 0011，而且尾数的长度决定了这个数的精度，因此如果要表示精度更高的小数，则就要提高尾数位的长度；

用 32 位来表示的浮点数，则称为单精度浮点数，也就是我们编程语言中的 float 变量，而用 64 位来表示的浮点数，称为双精度浮点数，也就是 double 变量，它们的结构如下：

2进制小数转换为2进制浮点数保存的步骤如下：

可以注意到转换过程中：

首先要移动小数点到第一个有效数字后面，然后小数点右侧的数字就是浮点数里的尾数位存储的值。
指数位在存储时以+127的方式进行；这样就可以把指数转换成无符号数，可以表达的指数取值范围在 -126 ~ +127 。
移动后的小数点左侧的有效位（即 1）消失了，因为 IEEE 标准规定默认左侧最高位就是1

因此转换公式为：

我们举个例子，例如将 -5.125 转换成float类型进行保存，则按照IEEE 754标准的规则进行以下步骤：

符号位：由于-5.125是负数，符号位为1。
绝对值的二进制表示：将5.125的绝对值转换为二进制形式，得到101.001。
规范化：将二进制表示规范化，即将小数点左移，直到只有一位非零数字位，得到1.01001。
指数位：计算小数点左移的位数，这里是2。
偏移量：对于32位浮点数，偏移量为127。将实际指数值2加上偏移量，得到指数位的值为129。
最终二进制表示：将符号位、指数位和尾数位按顺序连接起来，得到最终的32位二进制表示： 1 10000001 01001000000000000000000

我们编写代码进行测试，这里使用联合体（union）来转换浮点数和二进制数据：

#include <iostream>
#include <iomanip>

union FloatBinary {
    
    
    float f;
    unsigned int i;
};

int main() {
    
    
    float num = -5.125;
    FloatBinary fb;
    fb.f = num;

    // 将二进制表示以字符串形式打印
    std::cout << num << "\t-->\t";
    for (int i = 31; i >= 0; --i) {
    
    
        std::cout << ((fb.i >> i) & 1);
        if (i == 31 || i == 23) {
    
    
            std::cout << ' ';
        }
    }
    std::cout << std::endl;

    return 0;
}

测试结果如下：

和我们上面按照默认步骤计算的结果是一致的。

无限循环二进制数的保存

上面提到 0.1 这种无限循环的二进制数，对于这种数字，计算机是如何保存的呢？

使用 binaryconvert 这个工具，将十进制 0.1 小数转换成 float 浮点数，观察如下：

可以看到，8 位指数部分是 01111011，23 位的尾数部分是 10011001100110011001101，可以看到 尾数部分是 0011 是一直循环的 ，只不过尾数是有长度限制的，所以只会显示一部分，所以是一个近似值，精度十分有限。

我们用刚刚的程序在代码中观察一下，发现和显示的一致：

再看看 0.2 的保存方式：

可以看到，8 位指数部分是 01111100，稍微和 0.1 的指数不同，23 位的尾数部分是 10011001100110011001101 和 0.1 的尾数部分是相同的，也是一个近似值。

再用代码观察，发现也是一致的：

浮点数的近似

我们再将两个浮点数转换回十进制：

这两个结果相加就是 0.300000004470348358154296875：

可以得出，计算机里对这样的浮点数采取近似保存，所以其相加得出的也是一个近似数。我们用代码测试一下：

#include <iostream>
#include <iomanip>

int main() {
    
    
    double num1 = 0.1f;
    double num2 = 0.2f;
    double sum = num1 + num2;

    std::cout << std::setprecision(32);
    std::cout << "num1:\t\t" << num1 << std::endl;
    std::cout << "num1:\t\t" << num2 << std::endl;
    std::cout << "num1+num2:\t" << sum << std::endl;

    return 0;
}