【FMCW系统性能参数之测量精度公式推导】

本文编辑：调皮哥的小助理

连续多篇文章都在说FMCW雷达系统性能参数这个事儿，如：

（1）从奈奎斯特采样定理推导FMCW雷达系统性能参数
（2）从FMCW毫米波雷达系统的性能参数理解4D成像毫米波雷达的设计思路
（3）雷达入门 | FMCW毫米波雷达系统的性能参数分析

因为目标检测与参数估计这些是雷达系统的“第一性原理的第二个层次”，所以需要搞得清清楚楚，明明白白的。关于雷达的“第一性原理的第一个层次”，我认为是电磁场与电磁波（麦克斯韦方程组）、天线等，这才是雷达的真正源头与底层逻辑。无论是日常的科学研究，还是将来的找工作，我想这些基本的理论，是会经常被遇到的。

之前在（3）文章中提到过FMCW雷达系统性能参数的简要介绍，其中关于距离、速度和角度的测量精度直接给出了公式，缺乏详细的推导过程，正好之前在【雷达技术交流群】中有读者提到过，于是我觉得有必要分享。

下面来看看详细的过程，首先给出结论，需要注意的是本文仅针对的雷达体制是FMCW雷达，而不是脉冲雷达，虽然文章的末尾会给出不同波形的介绍。注意复信号和实信号的信噪比计算。

测距精度：

${\sigma }_R=\frac{c}{3.6B\sqrt{2SNR}}$

测速精度：

${\sigma }_v=\frac{\lambda }{3.6N{T}_c\sqrt{SNR}}$

测角精度：

${\sigma }_{\theta }=\frac{{\theta }_{3dB}}{1.6\sqrt{2SNR}}$

要得到公式的推导，需要参考比较老的文献，其中一本书是丁鹭飞的《雷达系统》，是1984年的出版的；另一本是李蕴滋的《雷达工程学》，这本书可以说比较适合入门了。其中，前一本书有详细的证明过程，后一本书直接给出了结论，所以我推荐先看后面一本，然后再去看详细的过程。

这里就直接看丁鹭飞的《雷达系统》了，具体在第二章的雷达测量精度和分辨率。这本书可以在网上购买旧版的，价格也不贵，电子版在会员资料库中。

其中，在2.1小节就提到了最大似然估计法，这个方法用于雷达系统对目标进行参数估计，之前有读者提到距离估计所做的距离维FFT在某种程度上可以看作是最大似然估计，其实我现在觉得他说的对，不光是距离，就连速度、角度等估计都是。而今天所要讨论的雷达测量理论精度，就是建立在最大似然估计法上的。

1、测距精度

测距精度其实就是时延估计精度，在丁鹭飞的《雷达系统》一书中，先以脉冲雷达为例，按照最大似然估计法，测距时候首先计算相关积分（脉冲压缩），然后求出最大值出现的时间即为时延估计值。步骤如下：

（1）时延估计

（2）最大似然估计

（3）精度分析

最终经过一系列数学计算，就得到了脉冲雷达下的测距精度，如下所示。

${\sigma }_R=\frac{c}{2}\frac{1}{B\sqrt{2SNR}}$

其中，由于该过程公式复杂，内容繁多，不便于在这里展示，请各位读者详细看书，这里仅是一个引导作用，还请谅解。另外距离估计精度是时间估计精度的系数乘以c/2。

但是这个公式对不同的波形表达不同，比如矩形脉冲、高斯脉冲、辛克波形以及调频连续波。这里对调频连续波进行推导后，得到测距精度为：

${\sigma }_R=\frac{\sqrt{3}c}{2\pi B\sqrt{\frac{2E}{N_0}}}$

简化之后近似表示为：

${\sigma }_R=\frac{c}{3.6B\sqrt{2SNR}}$

也可以表示为：

${\sigma }_R=\frac{\Delta R}{1.8\sqrt{2SNR}}$

也就是说，距离测量理论精度和发射信号波形、测量时得信噪比SNR、信号的带宽（理论距离分辨率、瑞利距离分辨率）有关，带宽越大、信噪比越高，测量精度越高。

2、测速精度

同理，速度测量精度主要是估计多普勒频移，也就是说速度测量精度，可以等效为多普勒频率的估计精度，多普勒频率估计精度与测速精度的系数是半波长。推导的方法和步骤与距离测量精度基本一样，具体过程也是非常繁杂，需要详细看书。

这里给出最终估计的速度误差（精度）表示为：

${\sigma }_v=\frac{\lambda }{2\pi T_e\sqrt{\frac{2E}{N_0}}}=\frac{\lambda }{2\pi N{T}_c\sqrt{2SNR}},T_e=N{T}_c$

其中Te是信号持续时间，Tc是单Chirp扫频时间，N是表示Chirp数。同样也是不同的波形，测速精度表达方式不一样， 如矩形脉冲、高斯脉冲、辛克波形、线性调频连续波以及相参脉冲串。其他波形看书，这里给出线性调频连续波的最终表达公式如下：

${\sigma }_v=\frac{\lambda \sqrt{3}}{2\pi T_e\sqrt{\frac{2E}{N_0}}}=\frac{\lambda \sqrt{3}}{2\pi N{T}_c\sqrt{2SNR}}=\frac{\lambda }{3.6N{T}_c\sqrt{2SNR}}$

也就是说，速度测量理论精度和发射信号波形、测量时得信噪比SNR、信号的持续时间（理论速度分辨率、瑞利速度分辨率）有关，信号总持续时间越长、信噪比越高，测量精度越高。 同时波长越小，精度也越高，这也是77G雷达优于24G雷达的主要优势之一。

另外，还有距离速度联合估计精度，相关内容见书中。

3、测角精度

方法与前面二者大致相同，略有区别。当口面场为等幅度分布时，测角误差可以表示为：

${\sigma }_{\theta }=\frac{\lambda \sqrt{3}}{\pi D\sqrt{\frac{2E}{N_0}}}$

可知，测角精度与信噪比和天线的归一化口径D/λ有关，波长降低也能提高测角精度。 一般在3dB波束宽度或者称为半功率点波束宽度，可以得到D/λ的关系为：

${\theta }_{3dB}=0.88\frac{\lambda }{D}$

推导出：

${\sigma }_{\theta }=\frac{{\theta }_{3dB}\sqrt{3}}{0.88\pi \sqrt{\frac{2E}{N_0}}}$

这个时候得到的测角精度为：

${\sigma }_{\theta }=\frac{{\theta }_{3dB}\sqrt{3}}{0.88\pi \sqrt{\frac{2E}{N_0}}}=\frac{{\theta }_{3dB}}{1.6\sqrt{2SNR}}$

所以更加进一步的结论是3dB波束越窄，也就是角度分辨率越低，测角精度越高。因此，无论是测距、测速还是测角，分辨率和信噪比都会影响测量精度的。

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