贝叶斯优化方法

历史

贝叶斯优化方法（Bayesian optimization method）起源于1960年代，主要用于实验设计和高效参数调整。在贝叶斯优化方法出现之前，常用的优化方法包括网格搜索、随机搜索、演化算法等。这些方法普遍需要进行大量的实验才能得到最佳超参数，比较耗时耗力。贝叶斯优化方法则采用贝叶斯思想，通过不断探索各种参数组合的结果，根据已有信息计算期望值，并选择期望值最大的组合作为最佳策略，从而在尽可能少的实验次数下达到最优解。

优点

相对于传统的优化方法，贝叶斯优化方法具有以下优点：

高效：通过智能地选择下一次实验的参数，减少了实验的次数，提高了效率。
准确：对于非凸优化问题，可以精确地找到全局最优点。
可扩展性：可以应用于各种领域，如深度学习、计算机视觉、自然语言处理等。

与其他方法的不同之处

与其他优化方法相比，贝叶斯优化方法通过建立一个高斯过程来表示未知函数，并利用加权期望的方式选择下一次采样点。这与其他优化方法如梯度优化、随机搜索等不同。

步骤

贝叶斯优化方法的主要步骤包括：

建立高斯过程
选择下一次采样点（即参数组合）
进行实验并更新高斯过程
重复步骤2-3，直到达到最大迭代次数或满足终止条件

理论推导过程

高斯过程

假设 $f (x)$ 为一个任意的函数，其中 $x$ 为输入， $y = f (x)$ 为输出。在贝叶斯优化方法中，我们假设 $f (x)$ 由高斯过程生成：

$\sim GP(m(x), k(x, x^{\prime}))$

其中 $m (x)$ 为均值函数， $x^{\prime})$ 为协方差函数。

对于一组参数 $\theta$ ，我们可以进行一次实验得到一个输出 $y$ ，此时我们可以用这个输出来更新高斯过程。令 $D$ 表示所有的实验数据，有：

$D=\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)\}$

则高斯过程的均值和方差分别为：

$\mu(x)=m(x)+k(x, X)(K+\sigma_n^2I)^{-1}(y-m(X))$

$\sigma^2(x)=k(x, x)-k(x, X)(K+\sigma_n^2I)^{-1}k(X, x)$

其中 $X=(x_1,x_2,...,x_n)$ ， $K_{ij}=k(x_i,x_j)$ ， $\sigma_n$ 为噪声参数。

选择下一次采样点

我们希望从上述高斯过程中选择一个新的 $x^{*}$ 来进行下一次实验。这里我们使用期望最大化来选择 $x^{*}$ ：

$x^{*}=\arg\max_{x \in X} \mu(x)$

然而，仅仅使用期望最大化可能会导致得到局部最优解。因此，我们需要在期望最大化的基础上添加一个探索项，使得算法能够探索更多的参数空间。具体地，这里将探索项设置为高斯分布：

$x^{*}=\arg\max_{x \in X} \mu(x)+\kappa\sigma(x)$

其中 $\kappa$ 为探索系数，控制探索和利用之间的平衡。

计算步骤

下面通过一个简单的例子来说明贝叶斯优化方法的计算步骤。假设我们要最小化以下函数：

$f(x)=-(x-2)^2+2$

这里我们可以看出，函数在 $x = 2$ 处取得最大值。然而，如果我们并不知道这个事实，我们可以使用贝叶斯优化方法来最小化该函数。首先，我们需要选择高斯过程的均值和协方差函数。这里我们选择：

$m (x) = 0$

$k(x,x^{\prime})=\exp(-\frac{(x-x^{\prime})^2}{2\lambda^2})$

其中 $\lambda$ 为关键参数。接下来，我们需要进行第一轮实验，随机选择一个 $x$ ，得到如下结果：

$x_1=0.5,y_1=-0.75$

此时我们可以根据这个结果来更新高斯过程。计算均值和方差可得：

$\mu(x)=k(x, x_1)\frac{y_1-m(x_1)}{k(x_1,x_1)+\sigma_n^2}$

$\sigma^2(x)=k(x, x)-k(x, x_1)\frac{k(x_1,x)}{k(x_1,x_1)+\sigma_n^2}$

根据期望最大化和探索项的公式，我们得到下一个实验点为 $x_2=3.04$ 。进行实验后，我们得到：

$x_2=3.04,y_2=1.89$

然后我们继续进行迭代，直到满足终止条件。最终，我们得到的最佳参数为 $x = 2$ ，此时函数取得最大值 $y = 2$ 。

结构图

graph TD;
  A[高斯过程]-->B[选择下一次采样点];
  B-->C[进行实验并更新高斯过程];
  C-->D[重复步骤2-3，直到达到最大迭代次数或满足终止条件];

Python示例代码

import numpy as np
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import Matern
import matplotlib.pyplot as plt


def f(x):
    return -(x-2)**2+2


kernel = Matern(length_scale=1.0)
gp = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, alpha=0.1**2)

X = np.linspace(0, 5, 100).reshape(-1, 1)
y = f(X)

plt.plot(X, y)

for i in range(5):
    x = np.random.uniform(0, 5)
    y = f(x) + np.random.normal(scale=0.1)
    gp.fit(np.array([[x]]), np.array([y]))
    mu, std = gp.predict(X, return_std=True)
    x_next = X[np.argmax(mu + 0.1*std)]
    y_next = f(x_next) + np.random.normal(scale=0.1)
    plt.plot(x_next, y_next, 'ro')

plt.show()

数组说明计算过程

高斯过程更新的过程需要用到矩阵求逆等操作，因此涉及大量矩阵运算。这里给出一些数组的说明：

$X$ ：形状为 $(n, 1)$ 的矩阵，表示已有实验数据的输入。
$y$ ：形状为 $(n, 1)$ 的矩阵，表示已有实验数据的输出。
$K$ ：形状为 $(n, n)$ 的矩阵，表示协方差矩阵。
$\sigma_n$ ：标量，表示噪声参数。
$x$ ：形状为 $(1, 1)$ 的矩阵，表示下一次采样点的输入。
$y^{*}$ ：标量，表示下一次采样点的输出。
$\mu(x)$ ：形状为 $(1, 1)$ 的矩阵，表示高斯过程的均值。
$\sigma(x)$ ：形状为 $(1, 1)$ 的矩阵，表示高斯过程的标准差。