Floyd算法的证明
void floyd()//三层循环实现floyd算法
{
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
Floyd的运用
1.牛的旅行（最短路）
牛的旅行
http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1343 
#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=160;
const double INF=1e20;
typedef pair<int,int> pii;
pii p[N];
char g[N][N];
double dist[N][N];
double maxd[N];
int n;
double get_dist(pii a,pii b)
{
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++) cin>>p[i].x>>p[i].y;
for(int i=0;i<n;i++) cin>>g[i];
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
if(i!=j)
{
if(g[i][j]=='1') dist[i][j]=get_dist(p[i],p[j]);//假如是相连的可以直接算两点间的距离
else dist[i][j]=INF;//反之为正无穷
}
for(int k=0;k<n;k++)//用Floyd更新两两的最短距离
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
for(int i=0;i<n;i++)//更新距离i这个点的最长距离
for(int j=0;j<n;j++)
if(dist[i][j]<INF)//假如在同个牧场才更新
maxd[i]=max(maxd[i],dist[i][j]);
double res1=0;
for(int i=0;i<n;i++) res1=max(res1,maxd[i]);//求一遍每个牧场的最长直径，因为结果肯定大于两个牧场的直径
double res2=INF;
for(int i=0;i<n;i++)//枚举两个点相连
for(int j=0;j<n;j++)
if(dist[i][j]>=INF)//假如不在一个牧场才相连
res2=min(res2,get_dist(p[i],p[j])+maxd[i]+maxd[j]);//假如这两个点相连
printf("%lf\n",max(res1,res2));//输出二者的最大
return 0;
}2.排序（传递闭包）
343. 排序 - AcWing题库https://www.acwing.com/problem/content/345/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=30;
int d[N][N];
bool st[N];
int n,m;
void floyd()//用Floyd更新其他的点
{
for(int k=0;k<n;k++)
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
d[i][j] |= d[i][k]&&d[k][j];
}
int check()
{
for(int i=0;i<n;i++)
if(d[i][i]) //假如自己小于自己则有矛盾
return 2;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<i;j++)
if(!d[i][j] && !d[j][i])//假如i和j的关系还没确定
return 0;
return 1;
}
char get_min()//找最小的数
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(!st[i])
{
bool flag=true;
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(!st[j]&&d[j][i])//假如大于其中一个数了，说明这个数不是小于所有数
{
flag=false;
break;
}
}
if(flag)//假如这个数是小于所有数了，则返回
{
st[i]=true;
return i+'A';
}
}
}
}
int main()
{
while(cin>>n>>m,n||m)
{
memset(d,0,sizeof d);
int type=0,t;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
char str[5];
cin>>str;
int a=str[0]-'A',b=str[2]-'A';
if(!type)
{
d[a][b]=1;//标记a<b
floyd();//用floyd更新一遍
type=check();//判断一下这一步
if(type) t=i;//假如可以确定，则记录这一步
}
}
if(!type)cout<<"Sorted sequence cannot be determined."<<endl;
else if(type==2)cout<<"Inconsistency found after "<<t<<" relations."<<endl;
else
{
memset(st,0,sizeof st);
cout<<"Sorted sequence determined after "<<t<<" relations: ";
for(int i=0;i<n;i++)
cout<<get_min();
cout<<"."<<endl;
}
}
}3.观光之旅（找最小环）
344. 观光之旅 - AcWing题库
https://www.acwing.com/problem/content/346/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std ;
const int N = 110 , M = 10010 , INF = 0x3f3f3f3f ;
typedef long long LL ;
int g[N][N] , d[N][N] ;
int pos[N][N] ; //记录当前状态由哪个点转移过来
vector<int> path ;
int n , m ;
//确保顺序正确
void dfs(int i , int j ) //i->j之间的路，输出i到j之间不包括i和j的道路
{
int k = pos[i][j] ;
if( k == 0 ) return ; //如果是0，说明i,j之间不经过除i，j之外的其他点
dfs(i , k); //i->newk
path.push_back(k); //k
dfs(k , j); //newk->j
}
void get_path(int i , int j , int k )
{
path.clear() ;
path.push_back(k); //边界
path.push_back(i);
dfs(i , j) ; //k->i->j->k
path.push_back(j);
}
int main()
{
cin >> n >> m ;
memset(g , 0x3f ,sizeof g) ;
for(int i = 0 ; i <= n ; i++ ) g[i][i] = 0 ;
int a , b , c ;
for(int i = 0 ; i < m ; i++ )
{
cin >> a >> b >> c ;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b] , c) ;
}
memcpy(d , g , sizeof d ); //原图
long long res = INF ;
for(int k = 1 ; k <= n ; k++ )
{
//至少包含三个点的环所经过的点的最大编号是k
for(int i = 1 ; i < k ; i++ ) //至少包含三个点，i，j，k不重合
for(int j = i + 1 ; j < k ; j ++ )
if(res > (LL)g[i][j] + d[i][k] + d[k][j] )
{
res = g[i][j] + d[i][k] + d[k][j] ;
get_path(i , j , k) ;
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i++ )
for(int j = 1 ; j <= n ; j++ )
if(g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
{
g[i][j] = g[i][k] + g[k][j] ;
pos[i][j] = k ;
}
}
if(res == INF)
cout << "No solution." << endl;
else
{
for(auto x : path)
cout << x << ' ' ;
cout << endl;
}
return 0;
}
4.牛站（快速幂求n次方+用map离散化）
345. 牛站 - AcWing题库https://www.acwing.com/problem/content/347/
离散数学的图论中经过k条边就是恰好矩阵的k次方的最小值
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=210;
int k,n,m,S,E;
unordered_map<int,int> id;
int g[N][N],res[N][N];
void mul(int c[][N],int a[][N],int b[][N])//状态计算
{
static int temp[N][N];
memset(temp,0x3f,sizeof temp);
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
temp[i][j]=min(temp[i][j],a[i][k]+b[k][j]);//假如a中的i~k+b的k~j小于我i~j则更新
memcpy(c,temp,sizeof temp);//把答案传回去
}
void qmi()
{
memset(res,0x3f,sizeof res);
for(int i=1;i<=n;i++) res[i][i]=0;//自己到自己也合法
while(k)
{
if(k&1) mul(res,res,g);//res=res*g
mul(g,g,g);//g=g*g
k>>=1;
}
}
int main()
{
memset(g,0x3f,sizeof g);
cin>>k>>m>>S>>E;
if(!id.count(S)) id[S]=++n;//假如S还没离散化，就离散化
if(!id.count(E)) id[E]=++n;//假如E还没离散化，就离散化
S=id[S],E=id[E];//等于离散化后的值
while(m--)
{
int a,b,c;
cin>>c>>a>>b;
if(!id.count(a)) id[a]=++n;//假如a还没离散化，就离散化
if(!id.count(b)) id[b]=++n;//假如b还没离散化，就离散化
a=id[a],b=id[b];//等于离散化后的值
g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],c);
}
qmi();//快速幂
cout<<res[S][E]<<endl;
return 0;
}
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