一、PWM
PWM有着非常广泛的应用，比如直流电机的无极调速，开关电源、逆变器等等，个人认为，要充分理解或掌握模拟电路、且有所突破，很有必要吃透这三个知识点：
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PWM
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电感
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纹波
PWM是一种技术手段，PWM波是在这种技术手段控制下的脉冲波，如果你不理解是把握不住PWM波的！
如下图所示，这种比喻很形象也很恰当，希望对学习的朋友有所帮助与启发。
PWM全称Pulse Width Modulation：脉冲宽度调制（简称脉宽调制，通俗的讲就是调节脉冲的宽度），是电子电力应用中非常重要的一种控制技术，在理解TA之前我们先来了解几个概念 。 
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脉冲周期T：单位是时间，比如纳秒ns、微妙μs、毫秒ms等；
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脉冲频率f：单位是赫兹Hz、千赫兹kHz等，与脉冲周期成倒数关系，即f=1/T；
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脉冲宽度W：简称脉宽，是脉冲高电平持续的时间，单位是时间，比如纳秒ns、微妙μs、毫秒ms等；
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占空比D：脉宽除以脉冲周期得到的值，百分数表示，比如50%，也常有小数或分数表示的，比如0.5或1/2。
以上之间的关系如下图所列的公式：
工程应用中的PWM波是幅值、周期（或频率）不变，脉宽（或占空比）可调的脉冲波，接下来我们来认清该PWM波到底是什么，TA隐藏着什么思想？
当我们想要控制一个直流电机的转速，我们可以通过改变其两端电压即可，但是该种方法有很大的局限性，可调直流电源构造复杂、成本高昂，应用起来很不现实。
所以我们采用另外的控制方式：电压源→驱动器→直流电机，电压源提供直流电压，不同的驱动器控制不同的直流电机，应用非常灵活，其中驱动器对电机的调速控制就是利用PWM。
可调直流电源控制与PWM控制都是能调速的，那么它们有什么相同之处呢？
如下图，电机为某相同转速时，红色代表驱动器输出幅值不变的PWM波，蓝色代表可调直流电源输出的电压，两者都是直接作用到负载。
由以上得知：
当PWM波的占空比越大时，所对应的直流电压与PWM波的幅值越接近；反之与0V越接近。
周期的红色PWM波脉宽下的矩形面积之和与蓝色直流电压的面积相等，即伏秒积相等：
U红(幅值) × ton = U蓝 × T
两端同时除以T，得到如下关系式：
U红(幅值) × 占空比 = U蓝
例如当PWM波的幅值为24V，占空比为50%时，与直流电压12V作用到电机上所产生的效果是一模一样的，即速度相同，即24V×50%=12V。
另外，既然满足这个关系，那PWM波的频率是不是可以随意了，答案当然不是，频率太低会导致电机运转不畅，振动大，噪音大；频率太高会导致驱动器开关损耗较大，甚至有电机会啸叫而不转的情况。
一般1k~30k的PWM频率较为普遍，几百Hz的也有，实际上还是根据电机功率在测试时确定合适的PWM频率范围为宜。
如下图为实物测试，脉宽在变化，周期不变的PWM波。
所加负载如下图，为PWM控制电机调速实物测试，有刷直流电机的PWM无极调速，其中LED是并联在电机输入端的，其亮弱反映电机速度的变化。whaosoft aiot http://143ai.com
要点：
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PWM波其实就是一种脉宽可连续调节的矩形脉冲波；
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占空比其实就是描述脉宽与脉冲周期的比值，是量化值，便于分析研究，当我们用占空比来表达时，对脉宽就不那么关心了；
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占空比调节就是脉宽调节，表达不一样，但本质是一样的；
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PWM波满足伏秒积计算：U红(幅值) × 占空比 = U蓝，作用效果与直流电压一样。
二、 过冲与相位裕量
负反馈因其可以稳定增益、减小失真、扩展带宽、变换阻抗等功能而在电子、控制等诸多领域发挥着重大作用。小至一颗电源芯片，大至一辆汽车，都在负反馈技术的帮助下使我们的生活变得更丰富。然而，负反馈的使用也是有代价的，即可能会导致系统不稳定。
为了了解系统的稳定性情况，最直接、精确的方式就是测量系统的相位裕量(Phase Margin/ PM)，我们通常会使用环路分析仪进行测试。
向大家介绍另一种方法，即通过测量过冲情况（OS）得到系统的相位裕量。
电路的二阶系统化
一些常见的反馈电路，通常都是二阶系统，我们以运放容性带载为例来讨论：
*运放的容性负载 *典型通用运放的开环增益曲线
一个典型通用运放的开环增益曲线如上图所示。它一般拥有一个低频的主极点，如100Hz，高频极点通常会被设计为远高于穿越频率，所以常规的运放电路是稳定的。
当运放存在容性负载的时候，开环输出电抗(Zo)与输出电容(Co)形成的极点会处在反馈环路内，当极点频率靠近或小于穿越频率，则会使得系统的相位裕度明显降低，导致不稳定的情况发生。
所以，一个运放带容性负载的放大电路，其传递函数可以表示为：
其中，K为运放的DC开环增益，β是反馈系数(作为跟随器时，β=1，100倍放大时，β=0.01)。
1/τa是运放的低频主极点的角频率，1/τb是Zo和Co产生寄生极点的角频率。可见，τa>> τb。
上式可被转换为标准的二阶系统
由于K为运放的DC开环增益，所以Kβ>>1 
其中，ωn为电路的自然频率，ξ为阻尼系数，且 
时域过冲与阻尼系数的关系
我们知道，系统处于欠阻尼状态，即0<ξ<1，才会存在过冲的情况。
对一个标准的二阶系统来说，
可以求得其单位阶跃响应函数为： 
求得阶跃响应第一个峰值对应的时间为： 
因此我们可以绘制如下过冲与阻尼系数的曲线
*过冲与阻尼系数的关系
过冲可以经由在输入端给予一个小的阶跃信号，并测量输出端得到。如下图是在ξ=0.35的系统中在1ms时使用100mV阶跃输入所测得的过冲情况，过冲为31%。
相位裕量与阻尼系数的关系
我们接下去分析阻尼系数与相位裕量(Phase Margin)的关系
系统的环路增益为：
具此我们可以绘制如下相位裕量与阻尼系数的曲线 
*相位裕量与阻尼系数的关系
相位裕量与过冲的关系
由此，我们借由阻尼系数，得到相位裕量与过冲的关系，绘制曲线如下
*相位裕量与过冲的关系
由上图可知，当相位裕量大于70˚以上时已经几乎没有过冲
相位裕量60˚ 时， OS(60˚)≈8.8%
相位裕量45˚ 时， OS(45˚) ≈23.4%
讨论是基于二阶系统的，所以如果实际的电路并非二阶系统，那么相位裕量与过冲的关系将并不严格遵循上述推论。但幸运的是，现实中的大部分电路都近似于二阶系统，所以通过观察过冲情况（OS）来判断系统稳定性的方法，对于有时候的系统调试（特别是，对于差分放大器或者SOC等并没有提供反馈引脚而无法采用环路分析仪的场合），或者定性分析，都是大有裨益的。