2018年全国卷Ⅱ卷文科数学解析[陕]

从一个数学老师的角度来解析2018高考，结合学生的实际学情，给出学习建议。

一、选择题

№01 【题文】 $i(2+3i)=$【$\hspace{2em}$】
A.$3-2i\hspace{4em}$ B. $3+2i\hspace{4em}$ C. $-3-2i\hspace{4em}$ D.$-3+2i\hspace{4em}$
【解析】$i(2+3i)=-3+2i$，故选D，送分题。
【说明】文科考查复数的乘法运算，理科考查复数的除法运算。

№02 【题文】 已知集合$A=\{1，3，5，7\}$，$B=\{2，3，4，5\}$，则$A\cap B=$【$\hspace{2em}$】
A.$\{3\}\hspace{4em}$ B. $\{5\}\hspace{4em}$ C. $\{3，5\}\hspace{4em}$ D.$\{1，2，3，4，5，7\}\hspace{4em}$
【解析】$A\cap B=\{3，5\}$，故选C，送分题。

№03 【题文】 函数$f(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{x^2}$图像大致是【$\hspace{2em}$】。

【分析】本题目考查函数图像的辨析，需要利用函数的性质求解，函数的性质常包含定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊值、驻点等等，具体要用到哪些性质往往因题目而异。
解法1由题目先分析函数的奇偶性，设$g(x)=e^x-e^{-x}$，则$g(-x)=e^{-x}-e^x=-g(x)$，即函数$g(x)$为奇函数，又函数$y=x^2$为偶函数，故函数$f(x)$为奇函数，排除选项A；
再由特殊值法，令$x=3$，则估算$f(3)=\cfrac{e^3-e^{-3}}{3^2}\approx\cfrac{2.7^3}{3^2}\approx 2$，排除C、D；
故选B。
解法2还可以利用奇偶性和单调性来解析本题目，奇偶性如上所述；
单调性，$f'(x)=\cfrac{(e^x+e^{-x})x^2-(e^x-e^{-x})\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{(x-2)e^x+(x+2)e^{-x}}{x^3}$，接下来常规方法是判断其在$x>0$时的准确的单调区间，这时候不但麻烦，而且已经将题目变成了做函数图像的方法了，不是辨析函数图像的方法，
此时我们观察可以看到当$x>2$时，$f'(x)>0$，故函数$f(x)$在$(2，+\infty)$上单调递增，故排除C和D，从而选B。
反思1、弄清楚题目的类型和相应的解法思路是非常必要的。
2、函数的奇偶性的判断中，有一个常用的方法就是利用性质，比如$奇+奇=奇，奇\times奇=偶，奇\times偶=奇，奇/偶=奇$，这些常见的结论一般的高三复习资料上都会有的。
建议常见函数的奇偶性需要记忆比如，
$f(x)=|x|$，$f(x)=e^x+e^{-x}$，$f(x)=Acos\omega x$都是偶函数；
$y=x^3$，$y=e^x-e^{-x}$，$y=Asin\omega x$都是奇函数。

№04 【题文】 已知向量$\vec{a}，\vec{b}$满足$|\vec{a}|=1$，$\vec{a}\cdot \vec{b}=1$，则$\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=$【$\hspace{2em}$】
A.$4\hspace{4em}$ B. $3\hspace{4em}$ C. $2\hspace{4em}$ D.$0\hspace{4em}$
【解析】$\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=2\vec{a}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times1+1=3$，故选B，送分题。

№05 【题文】 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率是【$\hspace{2em}$】
A.$0.6\hspace{4em}$ B. $0.5\hspace{4em}$ C. $0.4\hspace{4em}$ D.$0.3\hspace{4em}$
【解析】【文科】两个男生记为$A，B$，三个女生记为$a，b，c$，则从5个同学中任选2个同学参加服务，
可以列举得出共有10种结果$(A，B)$，$(A，a)$，$(A，b)$，$(A，c)$，$(B，a)$，$(B，b)$，$(B，c)$，$(a，b)$，$(a，c)$，$(b，c)$，
其中2人都是女同学的共有3种$(a，b)$，$(a，c)$，$(b，c)$，，故$P=\cfrac{3}{10}=0.3$，故选D，送分题。
【理科】$P=\cfrac{C_3^2}{C_5^2}=\cfrac{3}{10}=0.3$。
【建议】对文科学生而言，从5(6个或7个)个学生中任选2个(3个)的列举方法和结果，需要非常熟练快速准确才行。

№06 【题文】 双曲线$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0)$的离心率为$\sqrt{3}$，则其渐近线方程为【$\hspace{2em}$】
A.$y=\pm\sqrt{2}x \hspace{4em}$ B. $y=\pm\sqrt{3}x \hspace{4em}$ C. $y=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{2}x \hspace{4em}$ D.$y=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}x \hspace{4em}$
【解析】由已知$e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}$，则有$c=\sqrt{3}k(k>0)$，$a=k$，从而$b=\sqrt{2}k$，
由$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$，得到其渐近线方程为$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0$，即$y=\pm\cfrac{b}{a}x=\pm\cfrac{\sqrt{2}k}{k}x=\pm\sqrt{2}x$，故选A。
【建议】巧妙记忆：双曲线$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$的渐近线方程为$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0$；

№07 【题文】 在$\Delta ABC$中，$cos\cfrac{C}{2}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，则$AB=$【$\hspace{2em}$】
A.$4\sqrt{2} \hspace{4em}$ B. $\sqrt{30} \hspace{4em}$ C. $\sqrt{29} \hspace{4em}$ D.$2\sqrt{5}\hspace{4em}$
【解析】由降幂升角公式得到，$cosC=2cos^2\cfrac{C}{2}-1=-\cfrac{3}{5}$，
再由余弦定理可得，$AB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdot BC\cdot cosC$
$=25+1-2\times 5\times 1\times(-\cfrac{3}{5})=32$，故$AB=4\sqrt{2}$，选A。

№08 【题文】 为计算$S=1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4}+\cdots+\cfrac{1}{99}-\cfrac{1}{100}$，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入【$\hspace{2em}$】
A.$i=i+1\hspace{4em}$ B. $i=i+2\hspace{4em}$ C. $i=i+3\hspace{4em}$ D.$i=i+4\hspace{4em}$
【解法1】先按照循环次序执行看看，
$Step1，1<100，是，N=0+\cfrac{1}{1}，T=0+\cfrac{1}{2}$，
若$i=i+1$，
则$Step2，2<100，是，N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{2}，T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}$，若最后退出循环，则$S=N-T$中就没有$-\cfrac{1}{2}$，故$i=i+1$错误；
若$i=i+2$，
则$Step2，3<100，是，N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{3}，T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}$，
则$Step3，5<100，是，N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}，T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}$，若最后退出循环，则$S=N-T$刚好满足题意，故$i=i+2$正确；
同理，若$i=i+3$，若$i=i+4$，最后都会推出错误，故选B；
【解法2】(此方法思维要求高些)注意到$S$中的表达式特点是一正一负相间出现，分母是连续的自然数，故$N$计算的是分母是正奇数的分数，间隔为2，$T$计算的是分母是正偶数的分数，间隔为2，最后由$S=N-T$完成组合，满足题意，故选$i=i+2$，选B；

№09 【题文】 在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$为棱$CC_1$的中点，则异面直线$AE$与$CD$所成角的正切值为【$\hspace{2em}$】
A.$\cfrac{\sqrt{2}}{2}\hspace{4em}$ B. $\cfrac{\sqrt{3}}{2}\hspace{4em}$ C. $\cfrac{\sqrt{5}}{2}\hspace{4em}$ D.$\cfrac{\sqrt{7}}{2}\hspace{4em}$
【解法1】连结$BE$，由于$CD//AB$，故$\angle BAE$即为两异面直线所成的角，
令正方体的棱长为2，由$CE=1，BC=2$，可知$BE=\sqrt{5}$，又对角线$AC=2\sqrt{2}$，$CE=1$，则$AE=3$
在$Rt\Delta ABE$中，$AB=2，BE=\sqrt{5}$，则$tan\angle BAE=\cfrac{\sqrt{5}}{2}$，故选C。
【建议】1、异面直线所成的角，需要先平移其中一条，变为共面直线所成的角，如果要求其大小，可以放置在某个三角形中，通过解三角形完成；
2、棱长设为2的运算量和运算难度比棱长设为1要小一些。
【解法2】空间向量法。感觉比法1要慢一些。

№10 【题文】 若$f(x)=cosx-sinx$在$[0，a]$上是减函数，则$a$的最大值是【$\hspace{2em}$】
A.$\cfrac{\pi}{4}\hspace{4em}$ B. $\cfrac{\pi}{2}\hspace{4em}$ C. $\cfrac{3\pi}{4}\hspace{4em}$ D.$\pi\hspace{4em}$
【解法1】由题目可知，$f'(x)=-sinx-cosx\leq 0$在$[0，a]$上恒成立，即$sinx+cosx\ge 0$在$[0，a]$上恒成立，
即$sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\cfrac{\pi}{4})\ge 0$在$[0，a]$上恒成立，将4个选项代入验证，满足题意的是选项C，故选C。
【解法2】图像法，做出函数图像，观察发现，$a$的最大值是$\cfrac{3\pi}{4}$，故选C。

№11 【题文】 已知$F_1，F_2$是椭圆$C$的两个焦点，$P$是$C$上一点，若$PF_1\perp PF_2$，且$\angle PF_2F_1=60^{\circ}$，则$C$的离心率是【$\hspace{2em}$】
A.$1-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\hspace{4em}$ B. $2-\sqrt{3}\hspace{4em}$ C. $\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}\hspace{4em}$ D.$\sqrt{3}-1\hspace{4em}$
【解析】自行做出示意图，有图可知，在$Rt\Delta PF_1F_2$中，$\angle F_1PF_2=90^{\circ}$，$\angle PF_2F_1=60^{\circ}$，$F_1F_2=2c$，故$PF_2=c$，$PF_1=\sqrt{3}c$，
由椭圆的定义可知，$|PF_1|+|PF_2|=2a$，即$c+\sqrt{3}c=2a$，解得$e=\cfrac{c}{a}=\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$，故选D。
【建议】用圆锥曲线的定义解题，是高考中的一个高频考查方式。

№12 【题文】已知函数$f(x)$是定义在$(-\infty，+\infty)$上的奇函数，满足$f(1-x)=f(1+x)$，若$f(1)=2$，则$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=$【$\hspace{2em}$】。
A.$-50\hspace{4em}$ B.$0\hspace{4em}$ C.$2\hspace{4em}$ D.$50$
【解析】先将奇函数性质改写为，$f(x)=-f(-x)①$；再将对称性$f(1-x)=f(1+x)$改写为$f(2-x)=f(x)②$，
由①②式可知，$f(2-x)=-f(-x)$，即$f(2+x)=-f(x)$，故$T=2\times 2=4$，
这样$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)$，接下来就是重点求这些函数值；
由于函数是定义在$R$上的奇函数，故$f(0)=0$，则$f(4)=f(4-4)=f(0)=0$，
令$x=0$，则由$f(2-x)=-f(-x)$可得到$f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0$，即$f(2)=0$，
$f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2$，故$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0$，
即所求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=f(1)+f(2)=2$，故选C
【建议】熟练掌握以下的变形和数学思想方法：
比如对称性+奇偶性$\Longrightarrow$周期性的变形例子
如，已知函数$f(x)$是奇函数，且满足$f(2-x)=f(x)$，
则由$\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow$周期$T=4$
奇偶性+周期性$\Longrightarrow$对称性的变形例子
如，已知函数$f(x)$是奇函数，且满足$f(x+4)=-f(x)$，
则由$\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow$对称轴是$x=2$
对称性+周期性$\Longrightarrow$奇偶性的变形例子
如，已知函数$f(x)$的周期是2，且满足$f(2+x)=f(-x)$，
则由$\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow$函数$f(x)$是偶函数。

二、填空题

№13 【题文】 曲线$y=2lnx$在点$(1，0)$处的切线方程是________________。
【解析】$f'(x)=\cfrac{2}{x}$，则$k=f'(1)=2$，又切点为$(1，0)$，故切线方程为$y-0=2(x-1)$，即$y=2x-2$，送分题。
【说明】在点处的切线和过点处的切线是有很大区别的。 曲线的切线

№14 【题文】 若$x，y$满足约束条件$\begin{cases}x+2y-5\ge 0\\x-2y+3\ge 0\\x-5\leq 0\end{cases}$，则$z=x+y$的最大值是___________。
【解析】线性规划题目中的最基础的考查题型，做出可行域，通过平移目标直线就可以作答。提示：$z_{max}=9$
还有的同学直接求出三角形可行域三个顶点坐标代入，验证得到答案，对于这类题目此方法也是可行的。但不建议用这个方法，毕竟不利于对数学本质的理解。
【建议】1、关于线性规划题目，这几年的高考题目几乎就考查到这个难度(直线的截距型)，一般我们平时训练题目难度都比这个类型要难一些，比如斜率型，距离型等。
2、建议看看这篇博文， 线性规划相关

№15 【题文】 已知$tan(\alpha-\cfrac{5\pi}{4})=\cfrac{1}{5}$，则$tan\alpha$=______________。
【解析】本题目是三角函数求值中的给值求值类型，而且是比较简单的类型，只需要将已知条件化简，$tan(\alpha-\cfrac{5\pi}{4})=tan(\alpha-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{1}{5}$，
即$tan(\alpha-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{tan\alpha-tan\cfrac{\pi}{4}}{1+tan\alpha\cdot tan\cfrac{\pi}{4}}=\cfrac{tan\alpha-1}{1+tan\alpha}=\cfrac{1}{5}$，
解方程即可得到$tan\alpha=\cfrac{3}{2}$。
【建议】1、三角函数中的给值求值类型， 三角函数的求值
2、$tan\alpha$的给出方式， $tan\alpha$的各种可能给出方式

№16 【题文】已知圆锥的顶点为$S$，母线$SA，SB$互相垂直，$SA$与圆锥底面所成角为$30^{\circ}$，若$\Delta SAB$的面积为8，则该圆锥的体积为___________。
【解析】设圆锥的母线长为$x$，底面半径为$r$，则由等腰直角三角形$S_{\Delta SAB}=8=\cfrac{1}{2}x^2$，解得$x=4$，
又在$Rt\Delta SAO$中，$SA=4$，$\angle SAO=30^{\circ}$，则$OA=r=2\sqrt{3}$，$SO=2$
则$V=\cfrac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot SO=\cfrac{1}{3}\cdot \pi (2\sqrt{3})^2\cdot 2=8\pi$。

三、解答题

№21【题文】 题目暂略。

【解析】\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)\)，

当\(a=3\)时，\(f'(x)=x^2-3(2x+1)，\) 令\(f'(x)=0\)，则\(x=3\pm 2\sqrt{3}\)，

则\(x<3-2\sqrt{3}\)或\(x>3+2\sqrt{3}\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

\(3-2\sqrt{3}<x<3+2\sqrt{3}\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；

故单调递增区间为\((-\infty，3-2\sqrt{3})\)和\((3+2\sqrt{3}，+\infty)\)，单调递减区间为\((3-2\sqrt{3}，3+2\sqrt{3})\)。

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