NP问题的通俗解释

本博客参考：

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/348250098
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/348020672
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/260512272
• 以及相关的1-6。

是什么

NP的全称是Non Deteministic Polynomial，是线性所不能判别的问题的集合。

NP这个东西是从哪里来的呢？

起源

NP的提出，是基于图灵机模型的。

什么是图灵机？

图灵机有k条带子，左端有限，右端要多长可以有多长（潜在无限长）。每条带子都按顺序划分了格子，一个格子可以记录一个符号。符号的有限集我们称之为字母表（alphabet） . 每条带子上有一个带头（tape head），可以读取或更改一个格子里的内容。带头可以左右移动，我们规定图灵机的每个步骤中，带头只能向左一格、向右一格或不动。
用最通俗的语言来解释，图灵机是运行在3条带子和寄存器上的符合规则的自动化的机器。

用图灵机解决问题

有了这个机器，怎样才算使用这个机器解决了问题呢？为了简洁，我们目前只限定“判别命题是否为真”这种判别类问题。

当对输入和问题，图灵机运算后，图灵机能停，并且输出判定结果，则称图灵机解决了此问题。

通俗理解，是对于一个命题，图灵机能够不死循环，并且输出判别结果是真是否，那么就说此问题被图灵机解决。

对图灵机的大胆猜测

强邱奇-图灵（CT）论题：任何物理上可实现的计算装置A，都可被图灵机以多项式代价模拟。

再换句话说，任何装置都可以别图灵机以多项式的代价模拟。

不过请注意，这是一个论题，不是结论，是一个猜想。
为了验证此猜想，其举例了三个装置，每一个装置都能用图灵机“代替”，三个装置分别是：1. 任意大的字母表；2.单带图灵机；3.双向图灵机。（感兴趣可以看原帖子，我们只需要理解，此猜想大胆认为任何装置都能被以线性代价图灵机模拟替代。）

图灵机的泛化

该泛化认为，任意一个装置/程序，都可以被看成一个“通用图灵机”，即输入-处理-输出。

以当前我们熟悉的东西举个例子，对于某一个单独的指令，一个主机可以被看成图灵机；一个手机可以被看成图灵机；以及一个程序，也可以被看成一个图灵机。

对图灵机解决问题的复杂度

A reminder，“解决问题”的定义，是图灵机能够判断此命题是否为真。

结合C-T论题，我们把所有具有多项式时间算法的问题认为是同一类，也就是P (Polynomial)类。但凡在这类里面的问题，都被叫做在图灵机上有“高效算法”。

这其实也变相声明了图灵机的计算复杂度上限，是线性问题，也就是复杂度$O(1)、O(n^a)、O(lo{g}_a(n))$，其中$a$是常数。

非确定性图灵机

刚刚我们所“熟悉”的图灵机，叫做确定性图灵机。还有一种，叫做非确定性图灵机。二者对比：

换一张：
可以看到，左侧的情况下，对于计算的“搜索” 的效率，不如右侧的高。

这种非确定性的图灵机，通常用来解决存在性问题。NDTM的每一条计算路径试图构造一个存在性证明，若构造成功，在输出带上写1并停机，称该计算是成功的，该终止格局为接受格局；若构造失败，在输出带上写0并停机，称该计算是失败的，该终止格局为拒绝格局；永不终止的计算路径也视为失败的。

看到这里，目前所有的程序，都是左侧的图灵机的泛化，对于右侧的非确定性图灵机，还没有一个物理现实（不过好像量子计算机就是，但是还没实用）。在原帖中，对于非线性复杂度的问题，右侧的非确定性图灵机能够以线性复杂度解决。

所以出现了P类问题Polynomial，即能使用确定性图灵机有高效解决方法的问题；和NP问题Non deterministic Polynomial，不能用确定性图灵机线性判别的问题。

回到现在，网络上的帖子

看到很多视频或者回答说P问题就O()多少的问题，然后复杂度上到O多少，就是NP问题了。

确实说的也不能算错，就是这个NP出现的源头，其实算是说，有没有存在一个“高效算法”在当前这个问题上。

由于现在所有的程序都是确定性图灵机的泛化，所以对于非线性的复杂度问题是不存在“高效算法”的。现在大家也不说deterministic了，只说能否在合理时间下输出结果。这也算概念的引申吧！