问题描述
给定 n 件物品，物品的重量为 w[i]，物品的价值为 v[i]。现挑选物品放入背包中，假定背包能承受的最大重量为 W，问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
今天上课的时候讲到，对于一个01背包，每个物品都可以放或者不放两种状态，突然想到可以使用递归的方法解决这个题，于是有了这篇文章。一般方法为动态规划，在后面进行讲解。
递归实现
思路分析
先上一张图
图中每个节点代表一种状态，每条边代表一种操作
每个节点连接左子树的边为1，连接右子树的边为0：
1代表将该物品放入背包
0代表不将该物品放入背包
两棵左孩子其实就是对同一元素进行不同的操作后得到的新状态
树有一个特点就是：树的孩子还是一棵树。那么这就为我们用递归实现该问题提供了可能.
（1）没有出现叶子结点的情况时( weight 数组和 value 数组最后一个元素还未进行是否放入背包的操作)，递归调用该函数，对下一个元素进行操作
（2）当遇到叶子结点(即 weight 数组和 value 数组走到最后的时候)，遇到递归出口，开始退栈
代码实现
public class Bag {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = new int[]{
16,15,15}; //重量
int[] value = new int[]{
45,25,25}; //价值
int capacity = 30; //背包容量
int max1 = maxValue(weight, value, 0, capacity, 0, true);
int max2 = maxValue(weight, value, 0, capacity, 0, false);
System.out.println(Math.max(max1, max2));
}
public static int maxValue(int[] weight, int[] value, int i, int surplusCapacity,int nowValue, boolean isPutIn){
if(i >= weight.length){
//递归出口，越界时返回当前价值
return nowValue;
}
//剩余容量大于当前物品的重量
if( isPutIn && surplusCapacity >= weight[i]){
nowValue += value[i]; //更新当前价值
surplusCapacity -= weight[i]; //更新当前容量
}
int max1, max2;
/*假如可以放入，假如的原因是不一定能放入*/
max1 = maxValue(weight, value, i+1, surplusCapacity, nowValue, true);
/*不想放入*/
max2 = maxValue(weight, value, i+1, surplusCapacity, nowValue, false);
return Math.max(max1,max2);
}
}
动态规划实现
思路分析
我们先来考虑一个由前 i 个物品(1 ≤ i ≤ n)定义的实例，物品的重量分别为 w 1 , . . . w i w_1,...w_i w1,...wi，价值分别为 v 1 , . . . v i v_1,...v_i v1,...vi，背包的重量为 j (1 ≤ j ≤ W)。设dp(i, j)为该实例的最优解的物品总价值，也就是说，是能够放进承重量为 j 的背包中的前 i 个物品中最有价值子集的总价值。可以把前 i 个物品中能够放进承重量为 j 的背包中的子集分成两类; 包括第 i 个物品的子集和不包括第 i 个物品的子集
（1）在不包括第 i 个物品的子集中， 最优子集的价值是dp(i - 1,j)
（2）在包括第 i 个物品的子集中（此时必须满足： j − w i j - w_i j−wi ≥ 0），最优子集是由该物品的前i - 1个物品中能够放进承重量为 j − w i j - w_i j−wi的背包的最优子集组成。这种最优子集的总价值为 v i + d p ( i − 1 , j − w i ) v_i + dp(i-1,j-w_i) vi+dp(i−1,j−wi)。
状态转移方程如下：
d p ( i , j ) = { m a x { d p ( i − 1 , j ) , v i + d p ( i − 1 , j − w i ) } , j − w i ≥ 0 d p ( i − 1 , j ) , j − w i < 0 dp(i ,j) = \begin{cases} max\{dp(i-1,j),v_i + dp(i-1,j-w_i)\},& \text{$j-w_i≥0$}\\ dp(i-1,j),& \text{$j-w_i < 0$} \end{cases} dp(i,j)={
max{
dp(i−1,j),vi+dp(i−1,j−wi)},dp(i−1,j),j−wi≥0j−wi<0
代码实现
import static java.lang.Integer.max;
public class Bag {
public static void main(String[] args) {
int result = maxValue(new int[]{
16,15,15},new int[]{
45,25,25},30);
System.out.println(result);
}
public static int maxValue(int[] weight, int[] value,int capacity){
int n = weight.length; //物品个数
int [][]dp = new int[n+1][capacity+1];
dp[0][0] = 0;
for(int i = 1; i < n+1; i++){
for(int j = 1; j < capacity+1; j++){
if( j - weight[i-1] >= 0 ){
//可以放得下当前物品
dp[i][j] = max(dp[i-1][j],value[i-1]+dp[i-1][j-weight[i-1]]);
}else{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
return dp[n][capacity];
}
}
关于背包问题的动态规划还有很多的优化处理，我这里只记录下最基本的一种。
下面的背包九讲，对背包问题有非常详细的讲解
背包九讲
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