1.如果搜索树的高度较低时，这些集合操作会执行得较快。然而，如果树的高度较高时，这些集合可能并不比在链表上执行得快。红黑树(red-black tree)是许多"平衡"搜索树的一种，可以保证在最坏情况下基本动态集合操作的时间复杂度为O(lgn)。
二、红黑树的性质
红黑树是一棵二叉搜索树，它在每个节点上增加了一个存储位来表示节点的颜色，可以是RED或BLACK。通过对任何一条从根到叶子的简单路径上各个节点的颜色进行约束，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出2倍，因为是近似于平衡的。
2.1 树中每个节点包含5个属性:color、key、left、right和p。如果一个节点没有子节点或父节点，则该节点相应指针属性的值为NIL。我们可以把这些NIL视为指向二叉搜索树的叶节点(外部节点)的指针，而把带关键字的节点视为树的内部节点。
一棵红黑树是满足下面红黑性质的二叉搜索树:
1.每个节点或是红色的，或是黑色的。
2.根节点是黑色的。
3.每个叶节点(NIL)是黑色的。
4.如果一个节点时红色的，则它的两个子节点都是黑色的。
5.对每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。
下图(a)显示了一个红黑树的例子:
下图(b)所有指向NIL的指针都用指向哨兵T.nil的指针替换:
我们通常将注意力放在红黑树的内部节点上，因为它们存储了关键字的值。在本章的后面部分,所画的红黑树都忽略了叶节点，下图(c)所示:
2.2 旋转
搜索树操作TREE-INSERT和TREE-DELETE在含n个关键字的红黑树上，运行花费时间为O(lgn)。由于这两个操作对树进行了修改，结果可能违反红黑性质，为了维护这些性质，必须要改变树中某些节点的颜色以及指针结构。
指针结构的修改是通过旋转(ratation)来完成的，这是一种能保持二叉搜索树性质的搜索树局部操作。下图中给出了两种旋转：左旋和右旋。
在LEFT-ROTATE的伪代码中，假设x.right不等于T.nil且根节点的父节点为T.nil。
在旋转操作中只有指针改变，其他所有属性都保持不变.
2.3 插入
我们可以在O(lgn)时间内完成向一棵含n个节点的红黑树中插入一个新节点。为了做到这一点，利用TREE-INSERT过程的一个略作修改的版本来将节点z插入树T内，就好像T是一棵普通的二叉搜索树一样，然后将z着为红色。为保证红黑性质能继续保持，我们调用一个辅助程序RB-INSERT-FIXUP来对节点重新着色并旋转。调用RB-INSERT(T,z)在红黑树T内插入节点z,假设z的key属性已被事先赋值。
过程TREE-INSERT和RB-INSERT之间有4处不同。第一，TREE-INSERT内的所有NIL都被T.nil代替。第二，RB-INSERT的第14-15行置z.left和z.right为T.nil,以保持合理的树结构。第三，在第16行将z着为红色。第四，因为将z着为红色可能违反其中的一条红黑性质，所以在RB-INSERT的第17行中调用RB-INSERT-FIXUP(T,z)来保持红黑性质。
为了理解RB-INSERT-FIXUP过程如何工作，把代码分为三个主要的步骤。首先，要确定当节点z被插入并着为红色后，红黑性质中有哪些不能继续保持，其次，应分析第1-15行中while循环的总目标。最后，要分析while循环体中的三种情况，看看它们是如何完成目标的。图13-4给出一个范例，显示在一棵红黑树上RB-INSERT-FIXUP如何操作。
2.4 删除
与n个节点的红黑树上的其他基本操作一样，删除一个节点要花费O(lgn)时间。与插入操作相比，删除操作要稍微复杂些。
从一棵红黑树中删除节点的过程是基于TREE-DELETE过程而来的。首先，需要特别设计一个供TREE-DELETE调用的子过程TRANSPLANT,并将其应用到红黑树上:
过程RB-TRANSPLANT与TRANSPLANT有两点不同。首先，第一行引用哨兵T.nil而不是NIL。其次，第6行对v.p的赋值是无条件执行:即使v指向哨兵，也要对v.p赋值。实际上，当v=T.nil时，也能给v.p赋值。
