matlab 空域卷积 == 频域相乘

https://blog.csdn.net/jacke121/article/details/56668017

主要原因在于fft是周期延拓的。所以必须0填充才能保证其逆变换是完全卷积，否则就是周期卷积。

情况一，矩阵不拓展：

即空域是’same’，频域也是same，而不是fft2(p,x+p-1)，要是完全卷积里的填充才能是完全卷积

p=[0,-1,0;-1,4,-1;0,-1,0];%矩阵1
x=magic(5);%矩阵2
a=conv2(x,p,'same');%卷积结果

P=fft2(p,5,5);%矩阵1FFT
X=fft2(x);%矩阵2FFT
aa=X.*P;%频域乘积
r=ifft2(aa);%频域转换

a=
   21    73   -35     2   36
    66   -40    -5    5    13
   -23   -10    0    10    49
   13    -5     5    40  -40
    16    24    61  -47    31
r =
   5.0000  -10.0000         0  60.0000  -55.0000
   10.0000  -5.0000   55.0000  -60.0000   0.0000
  -10.0000   50.0000  -40.0000  -5.0000    5.0000
  45.0000  -45.0000  -10.0000   0.0000   10.0000
  -50.0000   10.0000  -5.0000    5.0000   40.0000，

情况二，矩阵拓展：

p=[0,-1,0;-1,4,-1;0,-1,0];%矩阵1
x=magic(5);%矩阵2
a=conv2(x,p,'full');%卷积结果

P=fft2(p,7,7);%矩阵1FFT
X=fft2(x，7，7);%矩阵2FFT
aa=X.*P;%频域乘积
r=ifft2(aa);%频域转换

a=
     0   -17   -24   -1    -8   -15     0
  -17    21    73   -35     2   36   -15
   -23    66  -40    -5     5    13  -16
    -4   -23   -10    0    10    49   -22
  -10    13    -5     5   40   -40    -3
   -11   16    24    61   -47   31    -9
     0   -11  -18   -25    -2    -9    0


r =
  -0.0000  -17.0000  -24.0000   -1.0000  -8.0000  -15.0000   -0.0000
  -17.0000  21.0000   73.0000  -35.0000   2.0000   36.0000  -15.0000
  -23.0000  66.0000  -40.0000   -5.0000   5.0000   13.0000  -16.0000
  -4.0000  -23.0000  -10.0000   -0.0000  10.0000   49.0000  -22.0000
  -10.0000  13.0000   -5.0000    5.0000  40.0000  -40.0000   -3.0000
  -11.0000  16.0000   24.0000   61.0000  -47.0000  31.0000   -9.0000
   0.0000  -11.0000  -18.0000  -25.0000  -2.0000   -9.0000   -0.0000

在处理图像时，所用到的图像复原，都是在时域上做卷积，处理时都是将其转化到频域做乘积，然后再做傅里叶反变换。
但是函数在转化成频域时，做傅里叶变化并没有对矩阵扩展。

例如图像I为[n,m]大小，掩膜P为[a,b].处理时是将P扩展到[n,m]大小，即fft2（P,a,b);
而不是将I和P都扩展到[n+a-1，m+b-1];

经验证，都扩展到[n+a-1，m+b-1]再做频域乘积，在经过傅里叶反变换得到的结果才和时域卷积的结果一致。
保持[n,m]大小得到的结果是不对的。
例如我上面写道的情况1和情况2，分别对应这两种情况。