17.已知函数$f (x) = \ln (x + 1) - \frac{x + 1}$.
(1)求$f (x)$的单调区间;
(2)求曲线$y = f (x)在点(1, f (1))$处的切线方程.
解:(1)函数$f (x) = \ln (x + 1) - \frac{x + 1}$, \quad$f' (x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2}$,
由$f' (x) > 0 \Rightarrow x > 0$; 由$f' (x) < 0 \Rightarrow - 1 < x < 0$;
所以$f (x)的单调增区间为(0,+{\infty}),单调减区间为(- 1, 0) .$
(2)f' (x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2},
当$x = 1$时, $f' (1) = \frac{1}{4}得切线的斜率为\frac{1}{4}$, 所以$k = \frac{1}{4}$;
所以曲线在点$(1, f (1))$处的切线方程为:
y - \ln 2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \times (x - 1), 即$x - 4 y + 4 \ln 2
- 3 = 0$,
故切线方程为 x - 4 y + 4 \ln 2 - 3 = 0.
解析
(1)先求出函数的定义域, 再求出函数的导数和驻点,
然后列表讨论, 求函数的单调区间和极值.
(2)欲求在点处的切线方程, 只须求出其斜率的值即可,
故先利用导数求出在处的导函数值, 再结合导数的几何
意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
18.已知$x, y$都是正实数, 且$x + y - 3 x y + 5 = 0$.
(I)求$x y$的最小值; (II)求$x + y$的最小值
解(I)由题意知：x + y = 3 x y - 5
由于$x, y$均为正实数，
所以$x + y > 0$ ,x y > 0
由于$x + y \geqslant 2${\sqrt{x y}}, 所以$3 x y - 5 \geqslant 2 \sqrt{x y}$
令$\sqrt = a$, 则有$3 a^2 - 5 \geqslant 2 a$, 解得$a \geqslant \frac{5}{3}$ ,
所以$x y \geqslant \frac{25}{9}$,
x + y = 3 x y - 5 \geqslant \frac{25}{3} - 5 = \frac{10}{3}
所以$x y$的最小值是$25 / 9, x + y$的最小值是$\frac{10}{3}$
19.(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用
表示，据统计，随机变量$\xi$的概率分布如下：
{\hspace{5em}}$ \begin{|c|c|c|c|c|} \hline \tmstrong{\tmname} \tmsamp \xi & 0 & 1 & 2 & 3\ \hline p & a & 0.4 & 3 a & 0.2\ \hline \end$
（I）求$a$的值和$\xi$的数学期望；
（II）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响, 求该企业在这两个
月内共被消费者投诉$4$次的概率. \ \
解: (I)由概率分布的性质有$a + 0.4 + 3 a + 0.2 = 1$，解得$a = 0.1.$
$\xi$的概率分布为$ \begin{|c|c|c|c|c|} \hline \tmstrong{\tmname} \tmsamp \xi & 0 & 1 & 2 & 3\ \hline p & 0.1 & 0.4 & 0.3 & 0.2\ \hline \end，\xi$的数学期望为$E \xi = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.4 + 2 \times 0.3 + 3 \times 0.2 = 1.6$.
(II)设事件$A$表示两个月内共被消费者投诉$4$次事件，$A_i$表示两个月内有一个月
被投诉$i$次，另一个月被投诉$4 - i$次，则由事件的独立性得
$P (A_1) = C_21 \times 0.1 \times 0.2 = 0.04, P (A_2) = C_22 \times 0.22 = 0.04，$
P (A) = P (A_1) + P (A_2) = 0.08.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉$4$次的概率为0.08.