以下所写皆为复制大牛的。
感谢大牛，在此附上：https://blog.csdn.net/wordwarwordwar/article/details/79605916
注：下面讨论如果不做说明，均假设为理想信道。
时域上的OFDM
OFDM——O 即为正交之意
图1：发送a信号的sin(t)：
图2：发送b信号的sin(2t)【注意：在区间[0,2π]内发送了两个完整波形】
图三：发送在无线空间的叠加信号a·sin(t)+b·sin(2t)：
图四：接收信号乘sin(t)，积分解码出a信号。【如前文所述，传送b信号的sin(2t)项，在积分后为0】
图五：接收信号乘sin(2t)，积分解码出b信号。【如前文所述，传送a信号的sin(t)项，在积分后为0】
图六：流程图
在[0，2pi]的时长内，通过sin(t)传输信号 a ，因此发送asin(t), sin(2t)传输信道 b，因此发送bsin(2t).sin(t)和sin(2t)的作用就是承载信号，本文一律称为子载波。调制在子载波上的幅度信号a 和 b ，才是需要发送的信息。
信道传送的信号就是 asin(t)+bsin(2t)。
接收端，分别对接收到的信号作关于sin(t)和sin(2t)的积分检测，【解码 a 信号，则将接收信号乘以 sin(t)，因为sin(t)he sin(2t)的正交性，后面积分为0，得到信号 a ；同理，乘以sin(2t)，得到信号 b。】就可以得到a 和 b 了。
注：sin(t) 和 sin(2t)
sin(t) 和 cos(t) / cos(nt)
sin(nt) 和 cos(nt)都相互正交
推广到更一般的情况是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)}在区间[0, 1/Δf]。有一个关键的参数Δf：它既是频域上子载波的间距，又确定了时域上的信号传输时间。
所以，选择2组正交序列sin(kt) 和cos(kt)，这是传输‘ 介质 ’，真正要传输的信息还需要调制到这些载波上，即sin(t),sin(2t),…,sin(kt)分别幅度调制a1,a2,…,ak信号,cos(t),cos(2t),…,cos(kt)分别幅度调制b1,b2,…,bk信号。这2n组互相正交的信号同时发送出去。那么空间中会得到什么：
f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) +
a2·sin(2π·Δf·2t) +
a3·sin(2π·Δf·3t) +
…
ak·sin(2π·Δf·kt) +
b1·cos(2π·Δf·t) +
b2·cos(2π·Δf·2t) +
b3·cos(2π·Δf·3t) +
…
bk·cos(2π·Δf·kt) +
公式1-1：
为了方便数学处理，复数形式表达：
公式1-2：
上面公式解释为：每个子载波序列都在发送自己的信号，互相交叠在空中，最终接受端看到的信号就是f(t)。接收端受到杂糅信号f(t)后，再在每个子载波上分别作相乘后积分的操作，就可以取出每个子载波分别承载的信号了。
然后，公式1-1和公式1-2！！！就是傅里叶级数嘛。如果将t离散化，那么就是离散傅立叶变换。所以才有OFDM以FFT来实现的故事。将在下面的章节进行更多的描述。
遵循古老的传统，F表示频域，f表示时域，所以可以从公式1-2中看出，每个子载波上面调制的幅度，就是频域信息。类似的说法是：OFDM传输的是频域信号。
时域上的OFDM系统图：
从时域上面来看OFDM，其实是相当简洁。不过，一个系统若要从时域上来实现OFDM，难度太大，时延和频偏都会严重破坏子载波的正交性，从而影响系统性能。
将上述的时域分析配上LTE的实现，有如下情况：
【注1：本段描述需要有LTE物理层的基本知识，如果看不明白，请暂时跳过，看完整篇文章后再回看】
【注2：LTE并非时域的实现，下面仅仅是套用LTE的参数，做一个参考分析】
子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM symbol的发送时间是66.7us，可以发现，15kHz*66.67us=1，即基带上一个OFDM symbol的发送时间正好发送一个一次谐波的完整波形。对于10M的LTE系统，采用的是1024个子载波，但是只有中间600个（不含最中间的直流）子载波被用于传送数据。在一个OFDM symbol的时间内（即66.67us)，靠近中间的两个一次谐波传输一个完整波形，再靠外一点的两个二次谐波传输两个完整波形，以此类推至最外面的两个300次谐波传输了300个完整的波形。在这66.67us内，600个子载波互相正交，其上分别承载了600个复数信号。
频域上的OFDM
从时域讨论是从‘O’开始的，频域上从‘FDM’开始
一个常规FDM的系统图：
【常规FDM，两路信号频谱之间有间隔，互相不干扰】
为了更好的利用系统带宽，子载波的间距可以尽量靠近些。
【靠得很近的FDM，实际中考虑到硬件实现，解调第一路信号时，已经很难完全去除第二路信号的影响了（电路的实现毕竟不能像剪刀裁纸一样利落），两路信号互相之间可能已经产生干扰了。】
还能再近些吗？可以的。这就是OFDM的来历啊，近到完全等同于奈奎斯特带宽（后面有详述），使频带的利用率达到了理论上的最大值。
【继续靠近，间隔频率互相正交，因此频谱虽然有重叠，但是仍然是没有互相干扰的。神奇的OFDM。】
再次回到正轨，请回看第一节中的图一至图六等时域波形图，图示了在时域上，波形的调制，叠加接收，以及最终的解码。让我们看看图一至图三中的每个步骤在频域上是如何表现的。
首先来看sin(t)。sin(t)的频谱是什么？—— 是一个冲激。是的，sin(t)是个单一的正弦波，代表着单一的频率，所以其频谱自然是一个冲激。不过其实图一中所示的sin(t)并不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之内的一小段。无限长度的信号被限制在一小截时间之内，【就好比从一个完整的人身上逮下一根头发，然后把整个人都丢掉，以发代人】其频谱也不再是一个冲激了。
对限制在[0,2π]内的sin(t)信号，相当于无限长的sin(t)信号乘以一个[0,2π]上的门信号（矩形脉冲），其频谱为两者频谱的卷积。sin(t)的频谱为冲激，门信号的频谱为sinc信号（即sin(x)/x信号）。冲激信号卷积sinc信号，相当于对sinc信号的搬移。所以分析到这里，可以得出图一的时域波形其对应的频谱如下：
限定在[0,2π]内的a·sin(t)信号的频谱，即以sin(t)为载波的调制信号的频谱：
sin(2t)的频谱分析基本相同。需要注意的是，由于正交区间为[0,2π]，因此sin(2t)在相同的时间内发送了两个完整波形。相同的门函数保证了两个函数的频谱形状相同，只是频谱被搬移的位置变了：
限定在[0,2π]内的b·sin(2t)信号的频谱，即以sin(2t)为载波的调制信号的频谱：
将sin(t)和sin(2t)所传信号的频谱叠加在一起，如下：
a·sin(t)+b·sin(2t)信号的频谱：
图23和图13，均是频域上两个正交子载波的频谱图。比一下，发现了吗？不太一样！是的，想必你已经想起来了，这是因为基带信号在传输前，一般会通过脉冲成型滤波器的结果。比如使用"升余弦滚降滤波器"后，图23所示的信号就会被修理成图13所示的信号了。这样可以有效的限制带宽外部的信号，在保证本路信号没有码间串扰的情况下，既能最大限度的利用带宽，又能减少子载波间的各路信号的相互干扰。，更多的可参考[wireless communication]
【注：脉冲成型滤波器作用于频域，可以"看作"时域中的每个码元都是以类似sinc信号发出的。没必要纠结于发送端码元的时域波形，只需要知道在接收端通过合适的采样就可以无失真的恢复信号就OK咯。】
奈奎斯特第一准则
码元速率为1/T(即每个码元的传输时长为T)，进行无码间串扰传输时，所需的最小带宽称为奈奎斯特带宽。
对于理想低通信道，奈奎斯特带宽W = 1/(2T)
对于理想带通信道，奈奎斯特带宽W = 1/T
可以看出信号的实际带宽B是要大于奈奎斯特带宽W（低通的1/(2T)或者带通的1/T）的，这就是理想和现实的距离。
补充说明：本文提到的"带宽"，也即约定俗成的带宽理解方式，指的是信号频谱中>=0的部分。在从低通到带通的搬移过程中，因为将原信号负频率部分也移出来了（也可理解为同乘e(j2πfct) + e(-j2πfct)的结果，见参考[2]）所以带宽翻倍了。
说明下频带利用率的问题。频带利用率是码元速率1/T和带宽B(或者W)的比值。
理想情况下，低通信道频带利用率为2Baud/Hz；带通信道频带利用率在传输实数信号时为1Baud/Hz，传送复数信号时为2Baud/Hz（负频率和正频率都独立携带信号）。由于讨论低通信道时往往考虑的是实数信号，而讨论带通信道时通常考虑的是复数信号，因此可以简单认为：理想情况下，信道的频带利用率为2Baud/Hz。
实际情况下，因为实际带宽B要大于奈奎斯特带宽W，所以实际FDM系统的频带利用率会低于理想情况。
【说到这里，终于可以图穷匕见了】而OFDM的子载波间隔最低能达到奈奎斯特带宽，也就是说（在不考虑最旁边的两个子载波情况下），OFDM达到了理想信道的频带利用率。
OFDM正交子载波，载频间距为奈奎斯特带宽，保证了最大的频带利用率。
将上述的频域分析配上LTE的实现，有如下情况：
【注：本段描述需要有LTE物理层的基本知识】
子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM symbol的发送时间是66.7us。在10MHz信道上，1ms的子帧共传输14个OFDM symbol【不是15个，留空给CP了】，每一个OFDM symbol携带600个复数信息，因此：
1. 从整个系统来看，波特率为600142/1ms = 16.8MBaud，占据带宽10MHz，因此带宽利用率为16.8MBaud/10MHz = 1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情况。【注：一是CP占用了每个OFDM Symbol约1/15的资源，二是10MHz的频带并不是满打满算的用于传输数据，其边界频带需要留空以减少与邻近信道的干扰】
2. 单从OFDM一个symbol来看，波特率为6002/66.7us = 18MBaud，占据带宽60015kHz=9MHz【不考虑边界子载波带外问题】，因此其带宽利用率为18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的讨论。
附：5M带宽的WCDMA的chip rate = 3.84M/s，即码率为3.84M*2 = 7.68MBaud，带宽5M，所以带宽利用率为7.68MBaud/5MHz = 1.536Baud/Hz，略逊于LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脉冲成型采用滚降系数为0.22的升余弦滤波器，奈奎斯特带宽为3.84M】
用IFFT实现OFDM
要理解IFFT实现OFDM，最好的办法还是看公式。比如第一章节中的公式1-1和公式1-2，配上时域波形图的叠加，不要太好理解哟。当然，这里的IFFT需要将时域离散化，因此公式IFFT ≈ IDFT -->
公式3-1：【n为时域离散后的序号，N为总的IFFT个数，n属于[1,N]】
关于公式3-1的理解方法，可以是这样的。其中一种理解方式是联系第一章节的公式1-2：可以发现公式3-1等号右侧所表达的物理意义和公式1-2是相同的，均代表了不同子载波e(j·2π·k·n/N)发送各自的信号Fk，然后在时域上的叠加形成fn，只不过现在叠加出来的时域不是连续波形，而是离散的时序抽样点。
另一种更容易，更可爱的理解方式是：在一个OFDM symbol的时长T内，用N个子载波各自发送一个信号F(k)（k∈[1,N]），等效于直接在时域上连续发送fn（n∈[1,N]）N个信号，每个信号发送T/N的时长。
在IFFT实现OFDM中，发送端添加了IFFT模块、接收端添加了FFT模块。IFFT模块的功能相当于说：别麻烦发送N个子载波信号了，我直接算出你们在空中会叠加成啥样子吧；FFT模块的功能相当于说：别用老式的积分方法来去除其余的正交子载波了，我帮你一次把N个携带信号全算出来吧。就是这样，IFFT实现OFDM的系统用"数学的方法"，在发送端计算信号的叠加波形，在接收端去除正交子载波，从而大大简化了系统的复杂度
用IFFT实现OFDM。请自行对比图七
时域上的正交性和频域上的正交性之间的关系该如何联系起来呢？
回顾前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【证明：sin(t)·sin(2t)在区间[0,2π]上的积分为0】，推广到更一般的情况是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)}在区间[0, 1/Δf]上正交（注：教材上一般写为u(t)在[-T/2,T/2]区间上怎么怎么着，本文就用不着那么学术了）。可以看出，这里有一个关键的参数Δf：它既是频域上子载波的间距，又确定了时域上的信号传输时间。回顾时域频域转换图
联系上图的时频转换，可以发现 Δf既确定了子载波本身(即上图中第一排的两个图)，又确定了待发信号的传输时间(即上图中第二排的两个图中信号的宽度)，从而决定了信号频谱的主瓣宽度以及旁瓣为0的位置。这也意味着，OFDM系统中一旦选定了子载波间隔，时域上的正交性以及频域上的正交性也就顺理成章的联系起来了。如下图
【两路信号的间隔Δf，保证了时域上的正交性、确定了频域上的旁瓣0点位置】
OFDM选用的正交子载波是因，频谱中出现“其余 子载波携带信号的旁瓣0点处于当前 子载波携带信号主瓣峰值处”的 现象是果