算法导论中的一个题目，上次面试题中被扩展到了二维和二维连续数组，记录下以供参考。
一维连续子数组和
问题描述：给定一个一维数组，求其中连续子数组和的最大值。
样例输入：{ 1， 5， -3， 6， -7}
样例输出：9 // 1 + 5 + -3 + 6
方法1：分治法，也是算法导论中介绍的一种方法。选取数组的中间元素a[n/2]，那么子数组要么经过中间元素，要么在a[0]和中间元素之间，要么在中间元素和a[n]之间。如果经过中间元素，那么可以使其分别向两侧求最大值元素，合并即可得到总的数组最大值。
时间复杂度分析：T( n ) = 2*T( n/2 ) + Θ（n） -------> Θ（n logn）
这种算法时间复杂度为n logn，虽然相比蛮力法更快，但依然不是最优。因为每次递归求解子数组和时，都会产生重复求解的问题。因此可以动态规划对此问题进行改进。
方法2：动态规划。一维数组的子数组两端都是不固定的，我们可以先假设一端已经确定位置，那么只需确定另一端的位置即可。用辅助数组 c[r] 存储 a[0] -> a[r] 之间最大连续子数组和，其中 a[r] 是子数组的一个端点。当填充完c[0] -> c[n-1]后，c数组中的最大值即是我们要求的结果。
状态转移方程：c[r] = max( 0, c[r-1] ) + a[r] // a[r]为一个端点，如果c[r]非0，那么最大值应为 c[r] + a[r]
这里使用c数组来保存状态，实际程序中只需要一个变量即可。因为c的后一个状态只与前一个状态有关。
#include <stdio.h>
int getMaxSubArraySum( int *a, int n)
{
int max_sum=0, c=0;
for( int i=0; i<n; i++) {
c = (c>0?c:0) + a[i]; // 状态转移方程
max_sum = c>max_sum ?c :max_sum;
}
return max_sum;
}
int main()
{
int a[] = { 1, 5, -3, 6, -7};
printf( "%d", getMaxSubArraySum( a, 5));
}
方法3：动态规划。这种方法与上一种方法类似，假设子数组一端已经确定位置，然后进行另一端位置的确定，不过这里使用的状态转移方程不同。用辅助数组s[i]记录 a[0] -> a[r] 元素之和，min记录 s[0] 到 s[r-1] 的最小值。那么 c[r] = s[r] - min 即以 a[r] 结束的子数组的最小值。最后求得c数组中的最大值即结果。
同方法二，s和c只需要取两个变量即可，没有必要设置为两个数组。
int getMaxSubArraySum( int *a, int n)
{
int max_sum=0, s=0, min=0;
for( int i=0; i<n; i++) {
s += a[i]; // sum of a[0...i]
min = s<min ?s :min;
max_sum = s-min>max_sum ?s-min :max_sum;
}
return max_sum;
}