【LittleXi】最小生成树

【LittleXi】最小生成树

简介

图论算法中，常常需要寻找能连通所有节点的最小边

kruskal算法

算法简介

该算法利用贪心思想，将所有的点连接为森林，再将森林全部连接为树，每次将最近的两点连接起来，直到生成树，同时为了防止形成环，我们在生成树的过程中，利用并查集检查连接这两点之后是否会形成环，如果find(l)==find®，则说明连接之后必然会形成环。

例题

P3366 【模板】最小生成树

【模板】最小生成树

题目描述

如题，给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

输入格式

第一行包含两个整数 $N,M$，表示该图共有 $N$ 个结点和 $M$ 条无向边。

接下来 $M$ 行每行包含三个整数 $X_i,Y_i,Z_i$，表示有一条长度为 $Z_i$ 的无向边连接结点 $X_i,Y_i$。

输出格式

如果该图连通，则输出一个整数表示最小生成树的各边的长度之和。如果该图不连通则输出 orz。

样例 #1

样例输入 #1

4 5
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 3

样例输出 #1

7

提示

数据规模：

对于 $20\%$ 的数据，$N\le 5$，$M\le 20$。

对于 $40\%$ 的数据，$N\le 50$，$M\le 2500$。

对于 $70\%$ 的数据，$N\le 500$，$M\le 10^4$。

对于 $100\%$ 的数据：$1\le N\le 5000$，$1\le M\le 2\times 10^5$，$1\le Z_i\le 10^4$。

样例解释：

所以最小生成树的总边权为 $2+2+3=7$。

算法步骤

• 首先将数据按照边的大小排序
• 然后依次遍历边，如果这两个点没有连接在一起，那么这条边就是最小生成树的边

算法实现

struct edge
{
    
    
	int l,r,dis;
};

edge es[200010];
int fa[5010];
bool comp(edge& e1, edge& e2)
{
    
    
	return e1.dis < e2.dis;
}

void init(int n)
{
    
    
    fa[n] = n;
}
int find(int i)
{
    
    
    if (fa[i] == i)
        return i;
    fa[i] = find(fa[i]);
    return fa[i];
}
void unionn(int x, int y)
{
    
    
    int fa1 = find(x);
    int fa2 = find(y);
    fa[fa1] = fa2;
}
int main()
{
    
    
    for (int i = 0; i < 5010; i++) init(i);
	int n, m;
	cin >> n >> m;;
	for (int i = 0; i < m; i++)
		cin >> es[i].l >> es[i].r >> es[i].dis;
	sort(es, es + m, comp);
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
    
    
        int l = es[i].l;
        int r = es[i].r;
        if (find(l) == find(r))
            continue;
        unionn(l, r);
        cnt += es[i].dis;    
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
        if (find(i) != find(i + 1))
        {
    
    
            cout << "orz" << endl;
            return 0;
        }
    cout << cnt << endl;
}