什么是子序列？
-对序列 1,3,5,4,2,6,8,7来说，序列3,4,8,7 是它的一个子序列，也即子序列不是子串，不一定要连续。
但是也不是子集，也即需要按原序列的顺序，不可打乱元素顺序。
什么是动态规划？
-动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。
动态规划法的关键就在于，对于重复出现的子问题，只在第一次遇到时加以求解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用，不必重新求解。
动态规划解题的一般思路
将原问题分解为子问题
把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决(数字三角形例）。
子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求 解一次。确定状态
在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题， 所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状 态”所对应的子问题的解。
所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。确定一些初始状态（边界状态）的值
确定状态转移方程
定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。
回到最长公共子序列的问题
简单来说可以这样计算：
①若S1的最后一个元素 与 S2的最后一个元素相等
S1和S2的LCS等于 {S1减去最后一个元素} 与 {S2减去最后一个元素} 的 LCS 再加上 S1和S2相等的最后一个元素。
②若S1的最后一个元素 与 S2的最后一个元素不等
S1和S2的LCS就等于 {S1减去最后一个元素} 与 S2 的LCS， {S2减去最后一个元素} 与 S1 的LCS 中的最大的那个序列。
第一步：计算最长公共子序列的长度并记录状态。
用二维矩阵解决：
二维数组中s1为列，s2为行（掉过来也行），先将二维数组中所有的数字都初始化为0
如果横竖（i,j）对应的两个元素相等，该格子的值 = c[i-1,j-1] + 1。如果不等，取c[i-1,j] 和 c[i,j-1]的最大值。
最后一个格子的值就是最长公共子序列的长度。
代码实现：
//不需要输出长度的话这个函数就不需要有返回值,b和c会把改动带回去
void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int **c, int **b)
{
int i, j;
for (i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 0;
for (i = 0; i <= n; i++) c[0][i] = 0;
for (i = 1; i <= m; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)//这里不能由0开始，不然[i-1][j-1]会越界
{
if (x[i] == y[j])
{
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
b[i][j] = 1;//b[i][j]用于标记该格是否为相同的格子，以及到底是i-1还是j-1
}
else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
{
c[i][j] = c[i - 1][j];
b[i][j] = 2;
}
else
{
c[i][j] = c[i][j - 1];
b[i][j] = 3;
}
}
}
第二步：从最后一个格子开始（刚好是b[i][j]），通过对状态的判别判断下一个应该输出的格子来输出公共子串
//由于是公共子串，可以只用其中一个串，不需要y
void LCS(int i, int j, char *x, int **b)
{
if (i == 0 || j == 0) return;
if (b[i][j] == 1)
{
LCS(i - 1, j - 1, x, b);
cout << x[i];
}
else if (b[i][j] == 2)
LCS(i - 1, j, x, b);
else LCS(i, j - 1, x, b);
}完整的代码（注意在调用函数前声明变量时对指针数组的初始化）：
#include <iostream>
using namespace std;
void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int **c, int **b)//不需要输出长度的话这个函数就不需要有返回值,b和c会把改动带回去
{
int i, j;
for (i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 0;
for (i = 0; i <= n; i++) c[0][i] = 0;
for (i = 1; i <= m; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)//这里不能由0开始，不然[i-1][j-1]会越界
{
if (x[i] == y[j])
{
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
b[i][j] = 1;//b[i][j]用于标记该格是否为相同的格子，以及到底是i-1还是j-1
}
else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
{
c[i][j] = c[i - 1][j];
b[i][j] = 2;
}
else
{
c[i][j] = c[i][j - 1];
b[i][j] = 3;
}
}
}
void LCS(int i, int j, char *x, int **b)//由于是公共子串，可以只用其中一个串，不需要y
{
if (i == 0 || j == 0) return;
if (b[i][j] == 1)
{
LCS(i - 1, j - 1, x, b);
cout << x[i];
}
else if (b[i][j] == 2)
LCS(i - 1, j, x, b);
else LCS(i, j - 1, x, b);
}
int main()
{
//x,y是两个串，b、c是二维数组；
//局部变量必须初始化
int m = 0, n = 0;
char x[10000], y[10000];
int *b[10000], *c[10000];//**b匹配的是指针数组 而不是b[10000][10000]
for (int i = 0; i < 10000; i++)//划重点
{
b[i] = new int[10000];
c[i] = new int[10000];
}
cout << "请输入第一串数字/字母的长度：";
cin >> m;
cout << "请输入第二串数字/字母的长度：";
cin >> n;
cout << "请输入第一串数字/字母:";
for (int i = 1; i <= m; i++)//这里用1~m 而不是 0~m-1 因为在上面的函数中初始化为0的那两行是没意义的
cin >> x[i];
cout << "请输入第二串数字/字母:";
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> y[i];
LCSLength(x, y, m, n, c, b);
LCS(m, n, x, b);
cout << endl;
system("pause");
}
当然其实也可以不用到数组b，直接用数组c进行判断
LCSLength主要用于先一步把矩阵建立起来
LCS才能进行回溯
#include <iostream>
using namespace std;
void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int **c)//不需要输出长度的话这个函数就不需要有返回值,b和c会把改动带回去
{
int i, j;
for (i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 0;
for (i = 0; i <= n; i++) c[0][i] = 0;
for (i = 1; i <= m; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)//这里不能由0开始，不然[i-1][j-1]会越界
{
if (x[i] == y[j])
{
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
}
else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
{
c[i][j] = c[i - 1][j];
}
else
{
c[i][j] = c[i][j - 1];
}
}
}
void LCS(int i, int j, char *x,char *y, int **c)//由于是公共子串，可以只用其中一个串，不需要y
{
if (i == 0 || j == 0) return;
if (x[i] == y[j])
{
LCS(i - 1, j - 1, x, y, c);
cout << x[i];
}
else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
LCS(i - 1, j, x, y, c);
else LCS(i, j - 1, x, y, c);
}
int main()
{
//x,y是两个串，b、c是二维数组；
//局部变量必须初始化
int m = 0, n = 0;
char x[10000], y[10000];
int *c[10000];//**b匹配的是指针数组 而不是b[10000][10000]
for (int i = 0; i < 10000; i++)
c[i] = new int[10000];
cout << "请输入第一串数字/字母的长度：";
cin >> m;
cout << "请输入第二串数字/字母的长度：";
cin >> n;
cout << "请输入第一串数字/字母:";
for (int i = 1; i <= m; i++)//这里用1~m 而不是 0~m-1 因为在上面的函数中初始化为0的那两行是没意义的
cin >> x[i];
cout << "请输入第二串数字/字母:";
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> y[i];
LCSLength(x, y, m, n, c);
LCS(m, n, x, y, c);
cout << endl;
system("pause");
}