余弦相似度公式推导及代码实现

1. 为什么使用余弦值相似度？

• 空间维度上两个点之间相似定义
  • 在空间维度上两个点之间是有夹角和方向，夹角范围在 [0,180]
  • 两个点越相似，方向越接近相同方向，夹角应该越小，越接近0度；
  • 两个点意思相反，方向越接近相反方向，夹角应该越大，越接近180度；
  • 两个点不相似，方向垂直，夹角应该接近90度；
• 为什么使用余弦值不用正弦值？
  • 根据上述相似定义，我们需要找到夹角范围在[0,180]单调性的函数
  • 如下图，正弦值夹角范围在 [0,180]，不是单调取值 【不符合】
  • 余弦值夹角范围在 [0,180]，具有单调性
    • 夹角为0，应该越相似，夹角值越大(1)
    • 夹角为90，应该无相关性，夹角值为0
    • 夹角为180，应该意思相反，夹角值越小(-1)
      
• 总结
  • 余弦单调性符合我们在空间维度位置的关系，所以使用余弦相似度 【自我理解】

2. 公式推导

2.1 三角函数余弦公式推导

$$\begin{array}{rl}cos(\theta )& =\frac{{AB}^2+{AC}^2-{BC}^2}{2\ast AB\ast AC}\end{array}$$

• 余弦公式
  $$\begin{array}{r}cos(\theta )=\frac{AD}{AC}\end{array}$$
• 由勾股定理原理可得
  $$\begin{array}{r}{AC}^2={AD}^2+{CD}^2(1)\\ {BC}^2={BD}^2+{CD}^2(2)\end{array}$$
• 公式1-公式2
  $$\begin{array}{rl}{AC}^2-{BC}^2& ={AD}^2-{BD}^2(3)\end{array}$$
• $AB,AD,BD$之间的关系，$AD$是未知值(但余弦公式需要参数)，$AB$是已知值，所以得到$BD$相关公式，把$BD$消掉
  $$\begin{array}{rl}AB& =AD+BD\\ BD& =AB-AD(4)\end{array}$$
• 公式4带入公式3
  $$\begin{array}{rl}{AC}^2-{BC}^2& ={AD}^2-{(AB-AD)}^2\\ {AC}^2-{BC}^2& ={AD}^2-{AB}^2+2\ast AB\ast AD-{AD}^2\\ {AC}^2-{BC}^2& =-{AB}^2+2\ast AB\ast AD\\ AD& =\frac{{AB}^2+{AC}^2-{BC}^2}{2\ast AB}(5)\end{array}$$
• 公式5带入余弦公式
  $$\begin{array}{rl}cos(\theta )& =\frac{AD}{AC}\\ & =\frac{\frac{{AB}^2+{AC}^2-{BC}^2}{2\ast AB}}{AC}\\ & =\frac{{AB}^2+{AC}^2-{BC}^2}{2\ast AB\ast AC}\end{array}$$

2.2 三角函数向量余弦公式推导

$$\begin{array}{rl}cos(\theta )& =\frac{\vec{a}\ast \vec{b}}{\parallel a\parallel \ast \parallel b\parallel }\end{array}$$

• 向量公式
  $$\begin{array}{rl}\vec{c}& =\vec{a}-\vec{b}(1)\\ AC& =\parallel \vec{b}\parallel (2)\\ AB& =\parallel \vec{a}\parallel (3)\\ BC& =\parallel \vec{c}\parallel (4)\end{array}$$
  
• $公式1，2，3，4$带入余弦公式
  $$\begin{array}{rl}cos(\theta )& =\frac{{AB}^2+{AC}^2-{BC}^2}{2\ast AB\ast AC}\\ cos(\theta )& =\frac{{\parallel \vec{a}\parallel }^2+{\parallel \vec{b}\parallel }^2-({\parallel \vec{a}-\vec{b}\parallel )}^2}{2\ast \parallel \vec{a}\parallel \ast \parallel \vec{b}\parallel }\\ cos(\theta )& =\frac{{\parallel \vec{a}\parallel }^2+{\parallel \vec{b}\parallel }^2-{\parallel \vec{a}\parallel }^2+2\ast \vec{a}\ast \vec{b}-{\parallel \vec{b}\parallel }^2}{2\ast \parallel \vec{a}\parallel \ast \parallel \vec{b}\parallel }\\ cos(\theta )& =\frac{\vec{a}\ast \vec{b}}{\parallel a\parallel \ast \parallel b\parallel }\end{array}$$

3. 余弦相似度代码实现

• 代码来自于书籍：深度学习进阶：自然语言处理

  import numpy as np
  
  def preprocess(text):
      """
         语料库预处理
  
         :param text:句子字符串
         :return:
              corpus 是单词ID 列表
              word_to_id：是单词到单词 ID 的字典
              id_to_word 是单词 ID 到单词的字典
      """
      text = text.lower().replace('.', ' .') # 单词全为小写
      words = text.split(' ') # 以空格分隔
      word_to_id = {
        
        }
      id_to_word = {
        
        }
      for word in words:
       if word not in word_to_id:
           new_id = len(word_to_id)
           word_to_id[word] = new_id
           id_to_word[new_id] = word
      corpus = np.array([word_to_id[w] for w in words])
      return corpus, word_to_id, id_to_word
  def create_co_matrix(corpus, vocab_size, window_size=1):
      """
      语料库生成共现矩阵
  
         :param corpus:corpus 是单词 ID 列表
         :param vocab_size:词汇个数
         :param window_size:窗口大小
         :return:
              共现矩阵
      """
      corpus_size = len(corpus)
      co_matrix = np.zeros((vocab_size, vocab_size), dtype=np.int32)
      for idx, word_id in enumerate(corpus):
          for i in range(1, window_size + 1):
              left_idx = idx - i
              right_idx = idx + i
              if left_idx >= 0:
                  left_word_id = corpus[left_idx]
                  co_matrix[word_id, left_word_id] += 1
              if right_idx < corpus_size:
                  right_word_id = corpus[right_idx]
                  co_matrix[word_id, right_word_id] += 1
      return co_matrix
  def cos_similarity(x, y, eps=1e-8):
      """
      余弦相似度函数
  
      :param x:x坐标值
      :param y:y坐标值
      :param eps:默认值为1e-8，防止分母为0
      :return:
          余弦相似度值
      """
      nx = x / (np.sqrt(np.sum(x ** 2)) + eps)
      ny = y / (np.sqrt(np.sum(y ** 2)) + eps)
      return np.dot(nx, ny)
  text = 'I say hello and You say goodbye.'
  corpus, word_to_id, id_to_word = preprocess(text)
  print("corpus为：",corpus)
  print("word_to_id为：",word_to_id)
  print("id_to_word为：",id_to_word)
  vocab_size=len(set(corpus))
  C=create_co_matrix(corpus, vocab_size, window_size=1)
  print("共现矩阵为：",C)
  c0 = C[word_to_id['you']] # you的单词向量
  c1 = C[word_to_id['i']] # i的单词向量
  print('you和i的相似度为',cos_similarity(c0, c1))