Armstrong 公理
Armstrong 公理系统设关系模式 R，其中 U 为属性集，F 是 U 上的一组函数依赖，那么有如下推理规则：
① 自反律： 若 Y⊆X⊆U，则 X→Y 为 F 所蕴含；
② 增广律： 若 X→Y 为 F 所蕴含，且 Z⊆U，则 XZ→YZ 为 F 所蕴含；
③ 传递律： 若 X→Y，Y→Z 为 F 所蕴含，则 X→Z 为 F 所蕴含。
根据上面三条推理规则，又可推出下面三条推理规则：
④ 合并规则： 若 X→Y，X→Z，则 X→YZ 为 F 所蕴含；
⑤ 分解规则： X → YZ，则 X → Y，X → Z
⑥ 复合规则： A->B，C->D，则 AC->BD
⑦ 伪传递规则： 若 X→Y，WY→Z，则 XW→Z 为 F 所蕴含；
⑧ 分解规则： 若 X→Y，Z⊆Y，则 X→Z 为 F 所蕴含。
如何求无损连接
设有关系模式 R (U，V，W，X，Y，Z)，其函数依赖集：F＝{U→V，W→z，Y→U，WY→X}，
现有下列分解：ρ＝{UVY，WXYZ}
R (UVY) ∩ R (WXYZ) 得出 Y
R1 - R2 得出 UV
R2 - R1 得出 WXZ
此处注意 R1 - R2，以 R1 为基准，相同项去除，保留不同项
现在只要证明 Y → UV 或 Y → WXZ 是否至少有一个成立
根据 F＝{U→V，W→z，Y→U，WY→X}
因为 Y→U U→V 即 Y → UV 成立
Y → WXZ 现有条件无法推出 但 Y → UV 成立 即可判断为无损连接
(额外的操作) 当两者得出交集时，通过交集判断是不是候选码，是候选码表示也是无损的
如何求函数依赖
对于属性集 ABCDEF 和函数依赖集 {A→BC，CD→E，B→D，BE→F，EF→A}，拆分为
{ABCD，EFA}
U1=ABCD，F1 += {A→BC，B→D}
U2=EFA，F2 += {EF→A}
丢失了 CD→E，BE→F，因此没有保持函数依赖。
如何求闭包（求候选码）
计算关系 R 的属性集 X 的闭包的步骤以下:
第一步：设最终将成为闭包的属性集是 Y，把 Y 初始化为 X;
第二步：检查 F 中的每个函数依赖 A→B，若是属性集 A 中全部属性均在 Y 中，而 B 中有的属性不在 Y 中，则将其加入到 Y 中；
第三步：重复第二步，直到没有属性能够添加到属性集 Y 中为止。最后获得的 Y 就是 X+。
例 1, 设关系 R (A,B,C,D,E,G)，
有函数依赖集 F={AB→C,BC→AD,D→E,CG→B}，求 AB 的闭包。
解：首先从 AB 出发，令 X=(A,B)，
因为函数依赖 AB→C 左边的全部属性都在 X 中，
因此能够把右边的 C 添加到 X 中，这时 X={A,B,C}。
其次考虑函数依赖 BC→AD，左边 B、C 均在 x 中，右边 D 不在 X 中，将其添加到 X 中，此时 X={A,B,C,D}。
再考虑函数依赖 D→E，同理可将 E 添加到 X 中，此时 X={A,B,C,D,E}。
上述方法再不能向 x 中添加属性，因此获得 (A,B) sup+={A,B,C,D,E}。
本章仅本人理解，如有错误，请大力指点！
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