2023 年
“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛 第一阶段
B 题 考订文本
古代文本在传抄过程中，往往会出现种种错误，以至于一部书可能流传下 来多种版本。在文献学中，错误往往被总结成“讹”、“脱”、“衍”、“倒”等形式， 也可能同时出现多种错误。错误可以在传抄过程中不断累加。
- “讹”是指对原始文本的篡改。包括无意中写错单个文字，也包括根据传 抄者自己的理解篡改完整的词汇，句子乃至整段内容。例如《红楼梦》 中著名菜肴“茄鲞”的做法，就有不同版本的古籍流传至今，而且内容相 去甚远，其中势必存在被传抄者篡改的部分；
- “脱”是指误删文字。包括遗漏单个文字或者成段内容。例如《荀子 ·劝 学》一文中有“蓬生麻中，不扶而直”一句，在古籍的传世版本中并无后 文。后经清代王念孙考证，后面应有“白沙在涅，与之俱黑”一句；
- “衍”是指误增文字。包括误增单字或词，误增整句的情况也有。例如三 国人物“士仁”在《三国演义》通行本中写作“傅士仁”，有人猜测这个 “傅”姓本是衍字而来。增整段的情况较少，往往是传抄者将其他文献或 自己原创的批注加进文本，后世无法辨识所致；
- “倒”一般是指交换原有文字的位置。单个文字位置对换往往是由于传 抄失误，大段乃至整篇文字的对换往往是由于装订失误。例如明代于谦 诗作《石灰吟》中有“粉骨碎身浑不怕”一句，在一些传抄版本中被误作 “粉身碎骨浑不怕”。
不仅是古代的传抄者会出错，即使是现代的通信或存储设备，当一条信息 被多次转发或转录以后，也无法避免随机发生的错误。在此，我们将此问题改 造成更加理想化的形式：假设原始文本的长度足够大，而且在传抄过程中，传 抄者并不和其他版本进行互相校核。这样，在足够长的流传或转发过程中，不 同的错误叠加，就可能会产生大量不同的版本。请你建立合理的数学模型，研 究如下问题。
第一阶段问题：
- 请你设计合理的方案，衡量两个不同版本的文本之间的差异大小。
- 如果一个版本是从另一个版本经过多次传抄而来，我们希望估计两个 文本之间经历的传抄次数。请分析并解决这个问题。在建模时请注意： 为了进行有效的估计，我们还需要知道哪些必需的信息？
- 在解决前面提出的问题时，有一些方案虽然在概念上很合理，但会遇到 实际计算上的困难。现请你针对前两问，分别设计一个有效而快速的算 法。请描述算法的原理，估计其速度，并举算例。