梯度下降 球体拟合

1. 前言

前端时间很久前， 学校数模校赛A题第2问有一个基于给定点求体积的小问题，因为题目中描述为近球体，所以可以做球体拟合。当时恰巧在学习深度学习方面内容，所以有了这个梯度下降方法做球体拟合。

2. 正文

2.1 损失函数 loss-function

理论值为：设球心和半径为（a,b,c,R)（解释：a,b,c分别为x,y,z坐标
目标函数设计为：
$$L=\sum _{i=1}^n[(x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2+(z_i-c{)}^2-R^2{]}^2$$

2.2 求偏导

$$\frac{\partial L}{\partial a}=-4\sum _{i=1}^n(x_i-a)[(x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2+(z_i-c{)}^2-R^2]$$
$$\frac{\partial L}{\partial b}=-4\sum _{i=1}^n(y_i-b)[(x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2+(z_i-c{)}^2-R^2]$$
$$\frac{\partial L}{\partial c}=-4\sum _{i=1}^n(z_i-c)[(x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2+(z_i-c{)}^2-R^2]$$
$$\frac{\partial L}{\partial R}=-4\sum _{i=1}^{n}R[(x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2+(z_i-c{)}^2-R^2]$$

2.3 梯度下降(反向传播）

利用梯度下降法对每次迭代后的（a,b,c,R）进行更新

其中lr代表学习率
$$a_{i+1}=a_i-lr\ast \frac{\partial L}{\partial a}$$
$$b_{i+1}=b_i-lr\ast \frac{\partial L}{\partial b}$$
$$c_{i+1}=c_i-lr\ast \frac{\partial L}{\partial c}$$
$$R_{i+1}=R_i-lr\ast \frac{\partial L}{\partial R}$$

2.4 超参数

批大小（batch_size）
学习率（learning_rate)
训练代数（epoch_num）

2.5 关键伪码

# 对迭代次数做循环
for epoch in range(num_epochs):
    #对数据集按batch_size做访问
    for i in range(batch):
        #分批取出batch大小的数据
        x,y,z=data(i)
        
        # X和y的每个批损失（在L()中做平均可以避免loss损失值太大的问题
        l = L(x,y,z,a,b,c,R)
        
        # 反向传播,更新目标参数
        #lr是学习率
        a = a - lr * (dL/dx)
        b = b - lr * (dL/dy)
        c = c - lr * (dL/dz)
        R = R - lr * (dL/dR)

2.6 其他思路

2.6.1 最小二乘法拟合球体

2.6.2 积分法球体积

求一个不规则物体的体积可以用3重积分
$$V={\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz$$
求三重积分可以有两种方式：“先一后二”、“先二后一”

其中先二后一是对面积分，再按高积分，可以按照微分的思想，取一个很小的dz然后对z的范围按dz的间隔取平面，对每个面做遍历（面积*dz粗略估计为该段的体积），需要考量的是这个方法涉及到的误差。
$$V={\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=\int dz\int f(x,y,z)dxdy$$

2.6.3 三角剖分求体积

3. 后记

仅分享自己的想法，有意见和指点非常感谢