数据结构与算法：位运算专题
位运算基础
位运算指的是直接对二进制位进行的一系列操作。常用的位运算有以下几种：
- AND(按位与)：运算符为&，作用是把两个数字对应的二进制位相与，只有对应的两个位为1，结果位才为1，否则结果位为0。比如：13&12=1101&1100=1100=12。
- OR(按位或)：运算符为|，作用是把两个数字对应的二进制位相或，只有对应的两个位为0，结果位才为0，否则结果位为1。比如：9|10=1001|1010=1011=11。
- XOR(按位异或)：运算符为 ^ ，作用是把两个数字对应的二进制位相异或，如果对应的两个位不同，结果位为1；如果对应的两个位相同，结果位为0。比如：13 ^ 12=1101 ^ 1100=0001=1。
- 移位运算：
a. 左移运算：运算符为<<，作用是在二进制表示下把数字同时向左移， 低位以0填充， 高位越界后舍弃。比如2<<1=…00010<<1=…00100=4。
b. 右移运算：运算符为>>，作用是在二进制表示下把数字同时向右移，高位以0填充，低位越界后舍弃。比如2>>1=…00010>>1=…00001=1。
利用以上几种位运算操作，可以实现这些常用功能：
if((1<<i)&x)，判断x二进制上的第i位是否为1。x^(1<<i)，将x二进制上的第i位取反。x|(1<<i)，将x二进制上的第i位赋值为1。x>>1，等价于x/2，效率上比使用除法运算符更快。if(x&1)，判断奇偶，当x为奇数，其二进制上的最低位为1；当x为偶数，其二进制上的最低位为0。- 状态压缩，以一个二进制数表示一个状态集合。比如我们进行二进制枚举：for(i=0;i<(1<<4);i++)，就是从0000~枚举到1111，那么i的第j位为0表示不取这个数字，i的第j位为1表示取这个数字。状态压缩常用于搜索/动态规划等题目。
位运算例题
例题1：PIPI的位运算问题Ⅳ
问题
解题思路
对于大部分位运算的问题，我们需要掌握按位考虑的思想。什么是按位考虑呢？也就是不对数字整体考虑，而是把数字转换成二进制形式，从它的每一位来思考解题的方法。
例如对于此题，题目是要计算第i个数与前i - 1个数的异或之和，那么我们就需要把这些数字都看成二进制形式，第i个数与其前某个数相异或，当第i个数的第j位与另一个数的第j位不同时，ans就需要加上2 ^ (j - 1)。对于前i - 1个数，计算方式都一样，于是我们就要按位考虑，计算每一位对答案ans的贡献：如果第i个数字的第j位为1，那么它对最终答案的贡献就是前i-1个数第j位为0的个数 * 2 ^ (j - 1)；如果第i个数字的第j位为0，那么它对最终答案的贡献就是前i-1个数第j位为1的个数 * 2 ^ (j - 1)。
因此我们用i遍历的时候使用一个JthBitHasOne数组，JthBitHasOne[j]表示前i-1个数第j位为1的有JthBitHasOne[j]个，那么前i-1个数第j位为0的就有i-1-JthBitHasOne[j]个。一个不超过1e9的数字最多只要遍历到第29位，根据上面提到的按位考虑算贡献的方法，我们就可以把题面上O(n^2)的时间复杂度优化成O(n*log(max(ai)))。
接下来通过样例（1,2,3）来理解这个按位考虑计算贡献的方法：
当i=1，前面没有数能与它异或，此时ans=0。
当i=2，a2的二进制形式为10。a2的第0位为0，根据异或的特性，相同为0，不相同为1，那么前i-1个数第0位为1的，都能对最终答案产生2 ^ 0的贡献。前i-1个数只有a1一个数第0位为1，因此对答案的贡献是1 x 2 ^ 0=1。则ans+=1，此时ans=1。
a2的第1位为1，根据异或的特性，相同为0，不相同为1，那么前i-1个数第1位为0的，都能对最终答案产生2 ^ 1的贡献。前i-1个数只有a1一个数第1位为0，因此对答案的贡献是1 x 2 ^ 1=2。则ans+=2，此时ans=3。
当i=3，a3的二进制形式为11。a3的第0位为1，根据异或的特性，相同为0，不相同为1，那么前i-1个数第0位为0的，都能对最终答案产生2 ^ 0的贡献。前i-1个数只有a2一个数第0位为0，因此对答案的贡献是1 x 2 ^ 0=1。则ans+=1，此时ans=4。
a3的第1位为1，根据异或的特性，相同为0，不相同为1，那么前i-1个数第1位为0的，都能对最终答案产生2 ^ 1的贡献。前i-1个数只有a1一个数第1位为0，因此对答案的贡献是1x2^1=2。则ans+=2，此时ans=6。因此最终答案就是6。
代码
import java.util.*;
public class Main {
static int[] JthBitHasOne = new int[32];
static long[] twoPower = new long[32];
public static void main(String[] args) {
long ans = 0;
int n, i, j;
long a;
twoPower[0] = 1;
for (i = 1; i < 32; i++) {
twoPower[i] = twoPower[i - 1] * 2;
}
Arrays.fill(JthBitHasOne, 0);
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
for (i = 1; i <= n; i++) {
a = scanner.nextLong();
for (j = 0; j < 32; j++) {
if ((a & (1L << j)) != 0) {
ans += (i - 1 - JthBitHasOne[j]) * twoPower[j];
JthBitHasOne[j]++;
} else {
ans += JthBitHasOne[j] * twoPower[j];
}
}
}
System.out.println(ans);
}
}
需要注意的点有：
- 如何判断第i个数第j位是1还是0？
a & (1L << j)即可，结果为1，则a的第j + 1位为1，否则为0
例题2：PIPI的位运算问题Ⅲ
问题
解题思路
与上题一样，我们按位考虑。解决该题的关键在于对或运算和异或运算的理解。n个数进行或运算，对于第i位，如果有一个数该位为1，根据或运算的性质，或的结果该位也为1，因此会对答案产生2 ^ i的贡献；n个数进行异或运算，对于第i位，如果有奇数个数字该位为1，根据异或运算的性质，异或的结果该位也为1，因此会对答案产生2 ^ i的贡献。n个数异或的情况，对于第i位，只有拥有奇数个1时，该位异或结果才为1，其他情况下该位异或结果都为0。
又因为题目要求最大值，所以我们不妨从高位往低位进行贪心。我们用变量i从高位遍历到低位，对于每个i，我们先对这n个数求出第i位为1的个数。若第i位为1的个数为0，则我们需要使用一次改变机会，使第i位为1的个数变为1个，这样异或和或的结果都为1，一共产生2 x 2 ^ i的贡献。若第i位为1的个数不为0，则1的个数要么是奇数要么是偶数，若是奇数，则异或和或的结果都为1，一共产生2 x 2 ^ i的贡献。若是偶数，则可以使用一次改变机会将其变为奇数。
代码
import java.util.*;
public class Main {
static int[] oneNum = new int[65];
static long[] twoPower = new long[65];
public static void main(String[] args) {
twoPower[0] = 1;
int i, n, j, maxj = 1;
for (i = 1; i < 65; i++) {
twoPower[i] = twoPower[i - 1] * 2;
}
Arrays.fill(oneNum, 0);
long k, a, ans = 0;
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
k = scanner.nextLong();
for (i = 0; i < n; i++) {
a = scanner.nextLong();
for (j = 0; j < 64; j++) {
if ((a & (1L << j)) != 0) {
oneNum[j + 1]++;
maxj = Math.max(j + 1, maxj);
}
}
}
for (j = maxj; j >= 1; j--) {
if (oneNum[j] == 0) {
if (k > 0) {
k--;
ans += 2 * twoPower[j - 1];
}
}else if ((oneNum[j] & 1) == 0) {
if (k > 0) {
k--;
ans += 2 * twoPower[j - 1];
} else {
ans += twoPower[j - 1];
}
} else {
ans += 2 * twoPower[j - 1];
}
}
System.out.println(ans);
}
}