1，数词字母数量
从以下这个三角形的顶部开始，向相邻的下一行的数字移动，经过之数所能得到的最大的和为 23，即：
3+7+4+9=23
3
7 4
2 4 6
8 5 9 3
找出从以下三角形的顶端走到底端的最大总和。
- 思路：动态规划
分析：这是一道经典的动态规划问题，为求三角形从上到下的最大和，先从最下一行开始倒推，即：
max(8+2,5+2)=10, max(5+4,9+4)=13, max(9+6,3+6)=15
这样可以将最下二行合为一行，即：
3
7 4
10 13 15
依次类推，可以继续倒推出：
max(10+7,13+7)=20,max(13+4,15+4)=19
即：
3
20 19
容易得到 23 是最大值，而路径也是题目中所给出的路径。
*动态规划公式：
- f[i][j] += Math.max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1])
- 答案：1074
public class Main {
private int[][] triangle = {
{
75},
{
95,64},
{
17,47,82},
{
18,35,87,10},
{
20, 4,82,47,65},
{
19, 1,23,75, 3,34},
{
88, 2,77,73, 7,63,67},
{
99,65, 4,28, 6,16,70,92},
{
41,41,26,56,83,40,80,70,33},
{
41,48,72,33,47,32,37,16,94,29},
{
53,71,44,65,25,43,91,52,97,51,14},
{
70,11,33,28,77,73,17,78,39,68,17,57},
{
91,71,52,38,17,14,91,43,58,50,27,29,48},
{
63,66, 4,68,89,53,67,30,73,16,69,87,40,31},
{
4,62,98,27,23, 9,70,98,73,93,38,53,60, 4,23},
};
public String run() {
for (int i = triangle.length - 2; i >= 0; i--) {
for (int j = 0; j < triangle[i].length; j++)
triangle[i][j] += Math.max(triangle[i + 1][j], triangle[i + 1][j + 1]);
}
return Integer.toString(triangle[0][0]);
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(new Main().run());
}
}
2，格子路径
- 在一个 2×2 的栅格中，从左上角出来，只能向右或向下移动，总共有 6 条路径可以到达栅格的右下角
（图见题目） - 求在一个 20×20 的栅格中，有多少条移动路径？
动态规划
- 首先考虑子问题，如在题目中一步可以到达(2,2)点的点只有两个，分别是(2,1)和(1,2)，
- 则到达(2,2)点的路径数也就是到达(2,1)点的路径数+到达(1,2)点的路径数，
- 而到达(2,1)点的路径数等于到达(1,1)点的路径数+到达(2,0)点的路径数。
- 因此一般地，到达点(x,y)的路径数等于到达(x-1,y)的路径数+到达(x,y-1)的路径数
- 边界条件是，一旦 x 或者 y 的坐标为零，则到达该点的路径只有一条。
- 因此，我们将该动态规划问题的状态转移方程表述如下：
- p(x−1,y)+p(x,y−1) x,y>0
- p(x,y)=
- 1 x=0 或 y=0
- 答案：137846528820
import java.math.BigInteger;
import java.util.*;
public class Main {
public BigInteger path(int x, int y) {
if (x == 0 || y == 0)
return BigInteger.ONE;
else
return path(x - 1, y).add(path(x, y - 1));
}
public String run2() {
return path(20, 20).toString();
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(new Main().run2());
}
}