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自适应矩估计算法（Adam）的两种变形形式
自适应矩估计算法的基础上还进一步提出了两种变形，一种变形的英文名称为Adamax，另一种变形的英文名称为Nadam。
自适应矩估计算法原理参考：
神经网络之反向传播算法（自适应矩估计算法Adam）
1、Adamax算法原理
Adamax主要对最后参数的更新量计算公式进行了调整，原式中的分母部分为对二阶矩估计进行如下开方：
而Adamax采用了下列公式进行该部分的确定：
ρ_2为衰减率，g_t为当前第t次迭代时的梯度值。
梯度g的计算原理参考：
神经网络之反向传播算法（梯度、误差反向传播算法BP）
之后采用下列公式对参数的调整量进行计算：
此算法的主要特点在于为学习率提供了一个更加简单的上限范围。
2、Nadam算法原理
Nadam相对Adamax来说更加简单，此算法相当于将Nestrov动量法的临时梯度思想引入了自适应矩估计算法之中，在每次对梯度进行计算时先获得一个参数临时更新量，对参数进行临时更新后计算获得临时梯度，利用临时梯度对一阶矩与二阶矩进行估计，并使用临时一阶矩与二阶矩来计算参数的更新量。
Nestrov动量法原理参考：
神经网络之反向传播算法（加入Nesterov动量的误差反向传播算法）
3、算法实现
以数据预测为例，下面分别介绍Adamax与Nadam的实现过程，将Adamax与Nadam算法分别应用于普通的三层神经网络（输入层、隐含层、输出层）的反向传播过程。
选用某省市的表层土壤重金属元素数据集作为实验数据，该数据集总共96组，随机选择其中的24组作为测试数据集，72组作为训练数据集。选取重金属Ti的含量作为待预测的输出特征，选取重金属Co、Cr、Mg、Pb作为模型的输入特征。
3.1 Adamax训练过程
#库的导入
import numpy as np
import pandas as pd
#激活函数tanh
def tanh(x):
return (np.exp(x)-np.exp(-x))/(np.exp(x)+np.exp(-x))
#激活函数偏导数
def de_tanh(x):
return (1-x**2)
#用于计算一阶矩估计与二阶矩估计的函数，其中s为一阶矩估计，r为二阶矩估计，delta为梯度值，
#，0.9和0.999分别表示两个衰减系数，0.1为1-衰减系数的计算结果
def accumulation(s,r,delta):
s = 0.9 * s + 0.1 * delta
r = max((0.999*r),abs(delta))
return s,r
#参数更新函数，w为待更新参数，s与r分别为修正后的一阶矩估计和二阶矩估计
def adjust(s,r,w):
change1 =r + 0.000001
change2 =s/change1
change = (-0.001)*change2
w = w + change
return w
maxepochs = 1000 #迭代训练次数
errorfinal = 0.65*10**(-3) #停止训练误差阈值
samnum = 72 #输入数据数量
indim = 4 #输入层节点数
outdim = 1 #输出层节点数
hiddenunitnum = 8 #隐含层节点数
#输入数据的导入
df = pd.read_csv("train.csv")
df.columns = ["Co", "Cr", "Mg", "Pb", "Ti"]
Co = df["Co"]
Co = np.array(Co)
Cr = df["Cr"]
Cr = np.array(Cr)
Mg=df["Mg"]
Mg=np.array(Mg)
Pb = df["Pb"]
Pb =np.array(Pb)
Ti = df["Ti"]
Ti = np.array(Ti)
samplein = np.mat([Co,Cr,Mg,Pb])
sampleout = np.mat([Ti])
#数据归一化，将输入数据压缩至0到1之间，便于计算，后续通过反归一化恢复原始值
sampleinminmax = np.array([samplein.min(axis=1).T.tolist()[0],samplein.max(axis=1).T.tolist()[0]]).transpose()
sampleoutminmax = np.array([sampleout.min(axis=1).T.tolist()[0],sampleout.max(axis=1).T.tolist()[0]]).transpose()
sampleinnorm = (2*(np.array(samplein.T)-sampleinminmax.transpose()[0])/(sampleinminmax.transpose()[1]-sampleinminmax.transpose()[0])-1).transpose()
sampleoutnorm = (2*(np.array(sampleout.T)-sampleoutminmax.transpose()[0])/(sampleoutminmax.transpose()[1]-sampleoutminmax.transpose()[0])-1).transpose()
sampleinmax = np.array([sampleinnorm.max(axis=1).T.tolist()]).transpose()
sampleinmin = np.array([sampleinnorm.min(axis=1).T.tolist()]).transpose()
#为归一化后的数据添加噪声
noise = 0.03*np.random.rand(sampleoutnorm.shape[0],sampleoutnorm.shape[1])
sampleoutnorm += noise
sampleinnorm = np.mat(sampleinnorm)
#利用归一化后的输入数据初始化参数w1、b1、w2、b2
dvalue = sampleinmax-sampleinmin
valuemid=(sampleinmin+sampleinmax)/2
wmag=0.7*(hiddenunitnum**(1/indim))
rand1=np.random.rand(hiddenunitnum,outdim)
rand2=np.random.randn(hiddenunitnum,indim)
rand1=rand1*wmag
rand2=rand2*wmag
b1=rand1-np.dot(rand2,valuemid)
for i in range(hiddenunitnum):
for j in range(indim):
rand2[i][j]=(2*rand2[i][j])/dvalue[j]
w1=rand2
w2 = np.random.uniform(low=-1, high=1, size=[outdim,hiddenunitnum])
b2 = np.random.uniform(low=-1, high=1, size=[outdim,1])
#参数w1、b1、w2、b2均为矩阵形式参与计算，其形状依次为8*4，8*1，1*8，1*1
w1 = np.mat(w1)
b1 = np.mat(b1)
w2 = np.mat(w2)
b2 = np.mat(b2)
#errhistory存储每次训练后的预测值与真实值的误差
errhistory = []
#sw1、sb1，sw2，sb2分别保存参数w1、b1、w2、b2的一阶矩估计，其形状与w1、b1、w2、b2一一对应
sw2 = np.zeros((1,8))
sb2 = np.zeros((1,1))
sw1 = np.zeros((8,4))
sb1 = np.zeros((8,1))
#rw1、rb1，rw2，rb2分别保存参数w1、b1、w2、b2的二阶矩估计，其形状与w1、b1、w2、b2一一对应
rw2 = np.zeros((1,8))
rb2 = np.zeros((1,1))
rw1 = np.zeros((8,4))
rb1 = np.zeros((8,1))
#t用于对一阶矩估计和二阶矩估计进行修正，随训练次数不断累加
t = 0
for i in range(maxepochs):
t = t + 1
#前向传播
#计算隐含层输出hiddenout，输出层输出networkout
hiddenout = tanh((np.dot(w1,sampleinnorm).transpose()+b1.transpose())).transpose()
networkout = np.dot(w2,hiddenout).transpose()+b2.transpose()
for j in range(samnum):
networkout[j,:] = tanh(networkout[j,:])
networkout = networkout.transpose()
#计算损失函数
err = sampleoutnorm - networkout
loss = np.sum(np.abs(err))/samnum
sse = np.sum(np.square(err))
#判断是否满足停止训练条件
errhistory.append(sse)
if sse < errorfinal:
break
#反向传播
#利用损失函数计算结果和激活函数偏导数，来计算参数w1、b1、w2、b2的梯度值
delta2 = np.zeros((outdim,samnum))
for n in range(samnum):
delta2[:,n] = (-1) * err[:,n] * de_tanh(networkout[:,n])
delta1 = np.zeros((hiddenunitnum,samnum))
for e in range(samnum):
for f in range(hiddenunitnum):
delta1[f,e] = w2[:,f] * delta2[:,e] * de_tanh(hiddenout[f,e])
dw2now = np.dot(delta2,hiddenout.transpose()) #1*8
db2now = np.dot(delta2,np.ones((samnum,1))) #1*1
dw1now = np.dot(delta1,sampleinnorm.transpose()) #8*4
db1now = np.dot(delta1,np.ones((samnum,1))) #8*1
#先更新输出层参数
#w2更新
for m in range(hiddenunitnum):
#计算一阶矩估计sw2和二阶矩估计rw2
sw2[:, m],rw2[:,m] = accumulation(sw2[:,m],rw2[:,m],dw2now[:,m])
#使用t值对一阶矩估计进行修正
saw2 = sw2[:,m] / (1 - (0.9**t))
#利用修正后的一阶矩估计和二阶矩估计对w2进行更新
w2[:,m] = adjust(saw2,rw2[:,m],w2[:,m])
#b2更新
#计算一阶矩估计sb2和二阶矩估计rb2
sb2,rb2 = accumulation(sb2,rb2,db2now)
#使用t值对一阶矩估计进行修正
sab2 = sb2/(1 - (0.9**t))
#利用修正后的一阶矩估计和二阶矩估计对b2进行更新
b2 = adjust(sab2, rb2, b2)
#更新隐含层参数
#w1更新
#计算一阶矩估计sw1和二阶矩估计rw1
for a in range(hiddenunitnum):
for b in range(indim):
sw1[a,b],rw1[a,b] = accumulation(sw1[a,b],rw1[a,b],dw1now[a,b])
#使用t值对一阶矩估计进行修正
saw1 = sw1[a,b]/(1 - (0.9**t))
#利用修正后的一阶矩估计和二阶矩估计对w1进行更新
w1[a,b] = adjust(saw1,rw1[a,b],w1[a,b])
#b1更新
#计算一阶矩估计sb1和二阶矩估计rb1
for n in range(hiddenunitnum):
sb1[n,:],rb1[n,:] = accumulation(sb1[n,:],rb1[n,:],db1now[n,:])
#使用t值对一阶矩估计进行修正
sab1 = sb1[n,:]/(1 - (0.9**t))
#利用修正后的一阶矩估计和二阶矩估计对b1进行更新
b1[n,:] = adjust(sab1,rb1[n,:],b1[n,:])
print("the generation is:",i,",the loss is:",loss)
#达到最大训练次数，保存此时的参数w1、b1、w2、b2
np.save("w1.npy",w1)
np.save("b1.npy",b1)
np.save("w2.npy",w2)
np.save("b2.npy",b2)
3.2 Adamax测试过程及结果
测试过程只需要利用训练过程生成的相关参数，对测试数据执行一次前向传播过程来获得预测值，之后可使用相关的误差指标对预测值进行评价，详细的测试过程源码见参考源码及数据集。
3.3 Nadam训练过程
#库的导入
import numpy as np
import pandas as pd
#激活函数tanh
def tanh(x):
return (np.exp(x)-np.exp(-x))/(np.exp(x)+np.exp(-x))
#激活函数偏导数
def de_tanh(x):
return (1-x**2)
#用于计算一阶矩估计与二阶矩估计的函数，其中s为一阶矩估计，r为二阶矩估计，delta为梯度值，
#，0.9和0.999分别表示两个衰减系数，0.1和0.001均为1-衰减系数的计算结果
def accumulation(s,r,delta):
s = 0.9 * s + 0.1 * delta
r = 0.999 * r + 0.001 * (delta**2)
return s,r
#参数更新量计算函数，w为待更新参数，s与r分别为修正后的一阶矩估计和二阶矩估计
def adjust(s,r):
change1 =r**0.5 + 0.000001
change2 =s/change1
#0.001为学习率
change = (-0.001)*change2
return change
maxepochs = 1000 #迭代训练次数
errorfinal = 0.65*10**(-3) #停止训练误差阈值
samnum = 72 #输入数据数量
indim = 4 #输入层节点数
outdim = 1 #输出层节点数
hiddenunitnum = 8 #隐含层节点数
#输入数据的导入
df = pd.read_csv("train.csv")
df.columns = ["Co", "Cr", "Mg", "Pb", "Ti"]
Co = df["Co"]
Co = np.array(Co)
Cr = df["Cr"]
Cr = np.array(Cr)
Mg=df["Mg"]
Mg=np.array(Mg)
Pb = df["Pb"]
Pb =np.array(Pb)
Ti = df["Ti"]
Ti = np.array(Ti)
samplein = np.mat([Co,Cr,Mg,Pb])
sampleout = np.mat([Ti])
#数据归一化，将输入数据压缩至0到1之间，便于计算，后续通过反归一化恢复原始值
sampleinminmax = np.array([samplein.min(axis=1).T.tolist()[0],samplein.max(axis=1).T.tolist()[0]]).transpose()
sampleoutminmax = np.array([sampleout.min(axis=1).T.tolist()[0],sampleout.max(axis=1).T.tolist()[0]]).transpose()
sampleinnorm = (2*(np.array(samplein.T)-sampleinminmax.transpose()[0])/(sampleinminmax.transpose()[1]-sampleinminmax.transpose()[0])-1).transpose()
sampleoutnorm = (2*(np.array(sampleout.T)-sampleoutminmax.transpose()[0])/(sampleoutminmax.transpose()[1]-sampleoutminmax.transpose()[0])-1).transpose()
sampleinmax = np.array([sampleinnorm.max(axis=1).T.tolist()]).transpose()
sampleinmin = np.array([sampleinnorm.min(axis=1).T.tolist()]).transpose()
#为归一化后的数据添加噪声
noise = 0.03*np.random.rand(sampleoutnorm.shape[0],sampleoutnorm.shape[1])
sampleoutnorm += noise
sampleinnorm = np.mat(sampleinnorm)
#利用归一化后的输入数据初始化参数w1、b1、w2、b2
dvalue = sampleinmax-sampleinmin
valuemid=(sampleinmin+sampleinmax)/2
wmag=0.7*(hiddenunitnum**(1/indim))
rand1=np.random.rand(hiddenunitnum,outdim)
rand2=np.random.randn(hiddenunitnum,indim)
rand1=rand1*wmag
rand2=rand2*wmag
b1=rand1-np.dot(rand2,valuemid)
for i in range(hiddenunitnum):
for j in range(indim):
rand2[i][j]=(2*rand2[i][j])/dvalue[j]
w1=rand2
w2 = np.random.uniform(low=-1, high=1, size=[outdim,hiddenunitnum])
b2 = np.random.uniform(low=-1, high=1, size=[outdim,1])
#参数w1、b1、w2、b2均为矩阵形式参与计算，其形状依次为8*4，8*1，1*8，1*1
w1 = np.mat(w1)
b1 = np.mat(b1)
w2 = np.mat(w2)
b2 = np.mat(b2)
#errhistory存储每次训练后的预测值与真实值的误差
errhistory = []
#sw1、sb1，sw2，sb2分别保存参数w1、b1、w2、b2的一阶矩估计，其形状与w1、b1、w2、b2一一对应
sw2 = np.zeros((1,8))
sb2 = np.zeros((1,1))
sw1 = np.zeros((8,4))
sb1 = np.zeros((8,1))
#rw1、rb1，rw2，rb2分别保存参数w1、b1、w2、b2的二阶矩估计，其形状与w1、b1、w2、b2一一对应
rw2 = np.zeros((1,8))
rb2 = np.zeros((1,1))
rw1 = np.zeros((8,4))
rb1 = np.zeros((8,1))
#deltaw1、deltab1、deltaw2 、deltab2分别保存参数w1、b1、w2、b2的临时更新量
deltaw2 = np.zeros((1,8))
deltab2 = np.zeros((1,1))
deltaw1 = np.zeros((8,4))
deltab1 = np.zeros((8,1))
#t用于对一阶矩估计和二阶矩估计进行修正，随训练次数不断累加
t = 0
for i in range(maxepochs):
t = t + 1
#利用参数临时更新量对参数w1、b1、w2、b2进行临时更新
w1 += deltaw1
b1 += deltab1
w2 += deltaw2
b2 += deltab2
# 前向传播
# 计算隐含层输出hiddenout，输出层输出networkout
hiddenout = tanh((np.dot(w1, sampleinnorm).transpose() + b1.transpose())).transpose()
networkout = np.dot(w2, hiddenout).transpose() + b2.transpose()
for j in range(samnum):
networkout[j, :] = tanh(networkout[j, :])
networkout = networkout.transpose()
# 计算损失函数
err = sampleoutnorm - networkout
loss = np.sum(np.abs(err)) / samnum
sse = np.sum(np.square(err))
# 判断是否满足停止训练条件
errhistory.append(sse)
if sse < errorfinal:
break
#反向传播
#利用损失函数计算结果和激活函数偏导数，来计算参数w1、b1、w2、b2的梯度值
delta2 = np.zeros((outdim,samnum))
for n in range(samnum):
delta2[:,n] = (-1) * err[:,n] * de_tanh(networkout[:,n])
delta1 = np.zeros((hiddenunitnum,samnum))
for e in range(samnum):
for f in range(hiddenunitnum):
delta1[f,e] = w2[:,f] * delta2[:,e] * de_tanh(hiddenout[f,e])
dw2now = np.dot(delta2,hiddenout.transpose()) #1*8
db2now = np.dot(delta2,np.ones((samnum,1))) #1*1
dw1now = np.dot(delta1,sampleinnorm.transpose()) #8*4
db1now = np.dot(delta1,np.ones((samnum,1))) #8*1
#先更新输出层参数
#w2更新
for m in range(hiddenunitnum):
#计算一阶矩估计sw2和二阶矩估计rw2
sw2[:, m], rw2[:, m] = accumulation(sw2[:, m], rw2[:, m], dw2now[:, m])
#使用t值对一阶矩估计和二阶矩估计进行修正
saw2 = sw2[:, m] / (1 - (0.9 ** t))
raw2 = rw2[:, m] / (1 - (0.999 ** t))
#获得参数更新量，并作为下一次训练时的临时更新量
deltaw2[:,m] = adjust(saw2,raw2)
#对参数w2进行更新
w2[:,m] += deltaw2[:,m]
#b2更新
#计算一阶矩估计sb2和二阶矩估计rb2
sb2,rb2 = accumulation(sb2,rb2,db2now)
#使用t值对一阶矩估计和二阶矩估计进行修正
sab2 = sb2/(1 - (0.9**t))
rab2 = rb2/(1-(0.999**t))
#获得参数更新量，并作为下一次训练时的临时更新量
deltab2 = adjust(sab2,rab2)
#对参数b2进行更新
b2 += deltab2
#更新隐含层参数
#w1更新
#计算一阶矩估计sw1和二阶矩估计rw1
for a in range(hiddenunitnum):
for b in range(indim):
#计算一阶矩估计sw1和二阶矩估计rw1
sw1[a,b],rw1[a,b] = accumulation(sw1[a,b],rw1[a,b],dw1now[a,b])
#使用t值对一阶矩估计和二阶矩估计进行修正
saw1 = sw1[a,b]/(1 - (0.9**t))
raw1 = rw1[a,b]/(1 - (0.999**t))
#获得参数更新量，并作为下一次训练时的临时更新量
deltaw1[a,b] = adjust(saw1,raw1)
#对参数w1进行更新
w1[a, b] += deltaw1[a,b]
#b1更新
#计算一阶矩估计sb1和二阶矩估计rb1
for n in range(hiddenunitnum):
#计算一阶矩估计sb1和二阶矩估计rb1
sb1[n,:],rb1[n,:] = accumulation(sb1[n,:],rb1[n,:],db1now[n,:])
#使用t值对一阶矩估计和二阶矩估计进行修正
sab1 = sb1[n,:]/(1 - (0.9**t))
rab1 = rb1[n,:]/(1 - (0.999**t))
#获得参数更新量，并作为下一次训练时的临时更新量
deltab1[n,:] = adjust(sab1,rab1)
#对参数b1进行更新
b1[n,:] += deltab1[n,:]
print("the generation is:",i,",the loss is:",loss)
#达到最大训练次数，保存此时的参数w1、b1、w2、b2
np.save("w1.npy",w1)
np.save("b1.npy",b1)
np.save("w2.npy",w2)
np.save("b2.npy",b2)
3.4 Nadam测试过程及结果
测试过程只需要利用训练过程生成的相关参数，对测试数据执行一次前向传播过程来获得预测值，之后可使用相关的误差指标对预测值进行评价，详细的测试过程源码见参考源码及数据集。
