辗转相除法：
若d为a，b的公因数，即d|a，d|b，则d|a-bq=r，从而d为b，r的公因数，同理可证，r，b的公因数均为a，b的公因数，因此，a，b公因数集合与r，b公因数集合相同，从而它们的最大公因数相等，即gcd(a，b)=gcd(b，r).
最大公因数的重要性质：
设整数a，b不同时为零，则存在一对整数m，n，使得(a，b)=am+bn.
若gcd(a，n)=1，gcd(b，n)=1，则gcd(ab，n)=1.
gcd(ma，mb)=gcd(a，b)×m
整除的一条重要性质：
若a|bc，且gcd(a，b)=1，则a|c.
素数的一条重要性质：
设p为素数，若p|ab，则p|a，或p|b.
最大公因数与最大公倍数关系：
gcd(a，b)lcm(a，b)=|ab|.
gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))
lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))
算术基本定理：
任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，并且，如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式时惟一的.
同余与整除的关系：
a≡b(mod n)等价于 n|a-b.
同余的性质：
1、若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）
2、若a≡b(mod n)，且c≡d(mod n)，则
- a+c≡b+d(mod n)；
- ac≡bd(mod n)；
- ka≡kb(mod n)，k为任意整数；
- am≡bm(mod n)，m为正整数；
3、a*b mod k = (a mod k) * (b mod k) mod k
4、若a≡b(mod p),a≡b(mod q),p,q互素，则a≡b(mod p*q).
5、若ab≡ac(mod n)，且gcd(a，n)=1，则b≡c(mod n).
非零元[a]有逆元的充要条件：
gcd(a，n)=1.
费马小定理：
设m为素数，a为任意整数，且gcd(a，m)=1，则a^m-1≡1(mod m)
欧拉定理：
设m为正整数，a为任意整数,且gcd (a，m)=1，则a^Φ(m)≡1(mod m)
关于模n的完全剩余系和简化剩余系，有如下基本结论：
定理一：设n为正整数，a,b为整数且gcd (a，n)=1,若{a1，a2，…，an}是模n的一个完全剩余系，则{aa1+b,aa2+b，…，aan+b}也是模n的一个完全剩余系.
定理二：设n为正整数，a为整数且gcd (a，n)=1, 若{a1，a2，…，aΦ(n)}为模n的一个简化剩余系，则{aa1,aa2，…，aaΦ(n) }也是模n的一个简化剩余系.
定理三：设m，n为正整数且gcd(m，n)=1，若{a1，a2，…，an}为模m的一个完全剩余系，{b1，b2，…，bn}为模n的一个完全剩余系，则所有整数nai+mbj组成的集合为mn的一个完全剩余系.
定理四：设m，n为正整数且gcd(m，n)=1，若{a1，a2，…，an}为模m的一个简化剩余系，{b1，b2，…，bn}为模n的一个简化剩余系，则所有整数nai+mbj组成的集合为mn的一个简化剩余系. 可得到关系式：若m，n为正整数，且(m，n)=1，则Φ(mn)=Φ(m)Φ(n).
定理五：设n为大于1的整数,则有下面的表达式:
Φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pk)，
其中p1，p2，…，pk为n的所有互异的素因数.
同余方程结论：
一次同余方程a≡b(mod n)有解，则gcd (a，n)|b．反过来，当gcd (a，n)|b时，一次同余方程a≡b(mod n)恰有(a，n)个解.
不定方程ax+by=c有整数解的一个判别准则：
如果不定方程有整数解，那么gcd (a,b)|c．反过来，当gcd (a, b)|c时,不定方程一定有整数解.
关于不定方程ax+by=c解的结论：
设gcd(a，b)=1，则不定方程ax+by=c的整数通解为：
x=x0+bt
y=y0-at
其中t为任意整数，x=x0，y=y0为不定方程ax+by=c的一个特解.